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Federico Zertuche Mones

Autómatas de Kauffman como Modelos Matemáticos de Auto-Organización en la Naturaleza.

En 1969 Stuart A. Kauffman (1939- ) propuso los modelos que ahora llevan su nombre como un intento de entender cómo la naturaleza se auto-organiza, i.e. pasa del desorden al orden de forma espontánea. Estos modelos, si bien muy simplificados en relación a los procesos genómicos (sincronicidad de la dinámica, suposición de que los genes sólo están en dos estados; activo o inactivo), han dado luz para entender varios de los comportamientos metabólicos de los seres vivientes.

Mi plática versará sobre los autómatas de Kauffman.

éstos son: Sistemas dinámicos binarios (o booleanos), lo que quiere decir que cada una de las N variables del sistema (también llamadas autómatas) toma sólo valores 1 ó 0. Matemáticamente hablando evolucionan en un tiempo discreto, lo que significa que los valores de las variables van evolucionando según un lapso finito de tiempo (identificado como un paso del “reloj metabólico” que regula al organismo) según un sistema de ecuaciones en diferencias, y de una forma síncrona (lo que significa que todas las variables evolucionan a la vez). Asimismo, las ecuaciones en diferencias que regulan la evolución de los autómatas dependen de los valores de sólo K de los autómatas al tiempo anterior; donde 0 < K < N+1; y de N funciones booleanas; una para cada autómata. Hasta aquí los autómatas de Kauffman no poseen ningún atributo particular que los haga atractivos para el estudio del origen de la vida. Son sistemas dinámicos deterministas (o sea, no probabilistas o estocásticos según la jerga científica) booleanos que evolucionan a través de ecuaciones en diferencias de K de los N autómatas al tiempo anterior. El ingrediente que los convierte en modelos estudiados en sus múltiples variantes desde su invención es la forma en que se construyen las K conexiones de cada una de las variables y las funciones booleanas que dictan la evolución determinista. éstas son elegidas al azar: las K conexiones se eligen con equiprobabilidad y sin repetición entre las N posibles variables; y las funciones booleanas se eligen con probabilidad “p” de que la salida sea 1, para cada una de las entradas de los K argumentos. Así las cosas, los autómatas de Kauffman son sistemas que se construyen al azar (modelando cómo la naturaleza partió del caos) y que tienen una dinámica determinista (modelando un sistema con un metabolismo determinado). Los autómatas de Kauffman poseen tres parámetros, N, K y p, en función de los cuales se han efectuado muchos estudios sobre todo en lo concerniente al tamaño de sus ciclos, definidos como el número de iteraciones del autómata necesarias para regresar a un estado ya visitado (identificados como procesos metabólicos) y al número de ellos. Muy generalmente existen dos tipos de comportamiento que marcan la diferencia en cuanto al tamaño de los ciclos: 1.- Crecen como potencia de N, o sea N\(^a\) con a > 0. O bien 2.- Crecen de forma exponencial, o sea e\(^{bN}\) con b > 0. Sólo el primer caso puede dar origen a un proceso metabólico dado que en el segundo caso el proceso sería excesivamente largo (los seres vivientes cuentan con del orden de N = 104 genes. Un crecimiento exponencial haría que un solo ciclo metabólico durara la edad del universo o más). Sólo casos extremos han sido resueltos de forma analítica (sin simulación computacional) y de forma exacta: El caso K = N, p = \(\frac{1}{2}\) fue trabajado desde los años 50 y sólo hasta 2005 el Dr. David Romero de la Unidad Cuernavaca del Instituto de Matemáticas de la UNAM y yo obtuvimos una solución exhaustiva de la dinámica. El caso K = 1, p = \(\frac{1}{2}\) fue resuelto por Flyvbjerg et al. en 1988. Actualmente estoy trabajando en el caso para N, K, p generales que aún guarda muchos secretos y es extremadamente complejo de resolver. Desde mi propuesta, en 2009 de clasificar a las funciones booleanas en términos de lo que llamé su “grado de irreducibilidad”, he podido dar avances significativos.

A partir de ella; usando el análisis asintótico, la teoría combinatoria y la teoría algebraica de gráficas, he logrado entender y calcular muchas propiedades de las funciones en diferencias que gobiernan la dinámica de los autómatas de Kauffman con resultados promisorios a corto plazo. Durante la plática hablaré de estas técnicas matemáticas con una perspectiva divulgativa evitando demostraciones y dando sólo las ideas generales de lo que el trabajo implica a nivel del cálculo formal.

Mi investigación tiene importancia tanto desde el punto estrictamente matemático; ya que los resultados que se obtienen tienen aplicación directa a la matemática pura, como desde el punto de vista del entendimiento del origen de la vida entendiendo el problema como una auto-organización del desorden al orden.

Reitero que los modelos de Kauffman son sólo aproximaciones a grosso modo de lo que fue en realidad el origen de la vida ya que hacen grandes simplificaciones. La ciencia, sin embargo siempre procede así: De lo fácil a lo complicado. Galileo Galilei (1564-1642) en 1632 hizo el primer estudio científico de la caída libre de los cuerpos mediante la suposición de que no existiera la fricción del aire, equivalente a que éstos se desplazaran en el vacío. Esto eventualmente dio lugar a la hoy conocida Ley de la Inercia, o Primera Ley de Newton (1642-1727). Esta posición hubiera resultado del todo inaceptable para Aristóteles (384-322 AC) quien era contrario a la existencia del vacío sin embargo permitió a Newton y sus sucesores poder estudiar casos más realistas en donde la fricción del aire estuviera presente.

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