EVERMAT

XII Escuela de Verano en Matemáticas

Conferencias


Timothy Gendron Thornton
UCIM, UNAM

Curvas Elípticas Cuánticas

Una curva eliptica es una curva nosingular definida por una ecuacion cubica que tiene la estructura de un grupo abeliano. En particular, el conjunto de los puntos complejos de una curva eliptica es un grupo de Lie isomorfo a un 2-toro.

Hay una relacion profunda entre ciertos invariantes de curvas elipticas con simetrias especiales (llamadas "multiplicaciones complejas") y extensiones abelianas de campos numericos cuadraticos complejos. Es decir, para cada extension cuadratica compleja K de los racionales, existe una curva eliptica E tal que la extension abeliana maxima de K se genera por el invariante modular de E y los valores de la funcion de Weierstrass en los puntos de torsion de E.

En esta charla, introducimos un analogo cuantico de la nocion de curva eliptica que nos permite tratar de foliaciones de Kronecker ("toros cuanticos") como si fueron variedades algebraicas. Luego definiremos el analogo del invariante modular y discutiremos su posible uso en el problema de generar la extension abeliana maxima de una extension cuadratica real de los racionales.

José Luis Cisneros Molina
UCIM, UNAM

Espejos, piñatas y nudos

El objetivo de la plática consiste en conocer a las variedades hiperbólicas de dimensión 3. Una variedad hiperbólica de dimensión 3 es una variedad diferenciable dotada de una métrica riemanniana completa de curvatura seccional -1. Estas variedades se pueden construir como el cociente del espacio hiperbólico tridimensional mediante un grupo de isometrías hiperbólicas discreto y libre de torsión.

Introduciremos al espacio hiperbólico tridimensional y usando reflexiones en esferas describiremos a las isometrías hiperbólicas y veremos los diferentes tipos que hay. Despues construiremos las variedades hiperbólicas, mencionaremos algunos invariantes que nos permiten distinguirlas y su relación con los nudos. ¿Y las piñatas? Tendrás que ir para averiguarlo.

Jorge Rivera
UAEM

Análisis Armónico en algunos problemas de tipo Dirichlet

Describiremos algunos problemas de tipo Dirichlet donde la aplicación de técnicas e ideas del análisis armónico proporcionan la solución a dicho problema, cuando el dato o el dominio tienen una regularidad muy básica. Los problemas abarcan ecuaciones como el laplaciano y la ecuación de calor.

Salvador Pérez Esteva
UCIM, UNAM

Acercar el análisis a la solución de problemas de ecuaciones diferenciales

Frecuentemente encontramos que problemas de ecuaciones en derivadas parciales se plantean en términos de otro tipo de ecuaciones como las llamadas ecuaciones integrales. Estas ecuaciones son en general mas fáciles de tratar porque involucran a cierto tipo de transformaciones lineales llamadas operadores compactos entre espacios normados completos.

Voy a contarles como funciona esto, para que vean la gran utilidad de la maquinaria del análisis y en particular del análisis funcional en la resolución de problemas en matemáticas. Vamos a ver un par de ejemplos interesantes.

Benoît Bertrand
Universidad de Toulouse

Un poquito de geometría tropical

Los enlaces entre geometría tropical y geometría algebraica real son importantes. La geometría tropical tiene aplicaciones en geometría enumerativa real y en topología de variedades algebraicas reales. El método de Viro (combinatorio) para construir hipersuperfices algebraicas reales fue reinterpretado por Viro mismo en términos tropicales.

En esta plática daré una introducción a la geometría tropical con énfasis en sus aspectos relacionados con la geometría algebraica real. Nos enfocaremos sobretodo en las curvas tropicales planas y en sus propiedades ilustrándolas con varios ejemplos.

Peter Makienko
UCIM, UNAM

Introducción a dinámica holomorfa: Conjuntos de Fatou y Julia

En esta plática definimos los objetos principales en dinámica holomorfa y discutimos algunas preguntas abiertas en el área.

Manuel Alejandro Ucan Puc
UCIM, UNAM

La visión de Felix Klein y más allá

Desde el punto de vista de Klein, cualquier grupo de transformaciones podía usarse para crear simetrías. Partiendo desde las transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido, presentaremos las ideas de Klein, y como podemos llegar más allá con estas ideas.