XII Escuela de Verano en Matemáticas

Introducción a la Teoría de Nudos

La teoría de nudos tiene por objetivo dar una clasificación de todos los nudos, es decir dar una lista completa y sin repeticiones. Para tal efecto a un nudo se le asigna un objeto matemático, llamado invariante.

En este curso estudiaremos algunos invariantes numéricos y topológicos para nudos como son: género de un nudo, número de túnel, número de puentes y ancho. También analizaremos el complemento nudo, que es una 3-variedad, y la información topológica que podemos obtener de esta.

Geometría Pseudo-Euclidiana

En este minicurso hablaremos sobre la acción del grupo $U(k,l)$ en el espacio proyectivo complejo y de cómo el entendimiento de este tipo de dinámica nos puede ayudar a proponer una noción adecuada de conjuntos límite para grupo discretos de transformaciones proyectivas, problema que hasta hoy se ha mostrado elusivo.

Variedades algebraicas reales

A veces, lo real es más complicado que lo complejo. Por ejemplo, todo polinomio complejo de grado d tiene d raíces complejas. El caso real es diferente. Dos polinomios de grado d reales pueden tener distinto número de raíces reales. Este sencillo ejemplo, muestra que para algunas preguntas, la respuesta compleja es constante y la real no.

Pensemos otro ejemplo. La curva compleja definida por un polinomio complejo en dos variables siempre es conexa. En cambio, la curva real definida por un polinomio real puede tener más de una componente conexa. ¿Cuántas componentes puede tener? ¿Cómo son estas componentes? ¿Cómo se sitúan en el plano?

En este curso, veremos algunos resultados que se tiene sobre estas variedades y las técnicas que se han desarrollado para estudiarlas. Entre otros, veremos los métodos de construcción de Hilbert y de Viro. Al final del curso, después de la plática de Benoit Bertrand, veremos como la Geometría Tropical se ha vuelto muy importante para quienes estudiamos las variedades algebraicas reales.

Introducción a la teoría de control en EDPs

El objetivo de la Teoría de Control es dar métodos para llevar un estado inicial a un estado final (ambos predeterminados), de algún fenómeno modelado por ecuaciones diferenciales.

Veremos una condición algebraica que caracteriza el control exacto en ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes.

Luego veremos las nociones de controlabilidad exacta, controlabilidad aproximada y control a cero en el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales. De particular interés será el estudio de la ecuación de calor y la ecuación de ondas.