XIII Escuela de Verano en Matemáticas

Clasificación de Superficies no Compactas.

El objetivo de esta plática es dar las principales ideas requeridas para probar un hermoso teorema: El teorema de clasificación de superficies no compactas.

Álgebras de Clifford: Geometría y Análisis.

Primero vamos a dar una introducción a las álgebras de Clifford de manera histórica. Empezaremos con los números reales y los números complejos, luego veremos el espacio Euclidiano y los cuaternios. Nos enfocaremos en propiedades algebraicas y geométricas de estas estructuras y de funciones con valores en estas álgebras. Nuestra meta es motivar el estudio de propiedades de ciertas clases de funciones con valores en estas álgebras y presentar algunos ejemplos.

El problema de los collares enredados.

En esta plática visitaremos el problema de los collares enredados. Veremos el planteamiento matemático y las diversas maneras de visualizarlo, utilizando la computadora.

Cortando 3-variedades con superficies.

Una 3-variedad es un espacio topológico con la propiedad de que localmente se ve como el espacio euclidiano de dimensión tres. El problema de la teoría de 3-variedades es dar una lista completa y sin repeticiones de todas ellas, es decir clasificarlas. Una manera de estudiar y obtener información de una 3-variedad es cortarla a lo largo de superficies, las cuales están clasificadas y las entendemos mas. Al cortar obtenemos pedazos mas sencillos, y podemos decir cosas acerca de la 3-variedad. En esta plática aprenderemos a cortar 3-variedades y pegar los pedazos obtenidos.

Análisis Numérico y Pronostico del tiempo.

En las últimas décadas, la predicción del clima ha pasado de ser un arte basada en la intuición a una ciencia que basa en el análisis teórico y numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales. El desarrollo de esta disciplina aplicada ha sido motivado por la necesidad humana de predecir la evolución de distintos fenómenos que ocurren en nuestra atmósfera. Aún cuando las matemáticas han demostrado ser una herramienta fundamental en su avance, hay retos teóricos y computacionales interesantes. En la charla veremos algunas de las ideas principales en la modelación atmosférica. Mostraré además algunos modelos y resultados para la simulación de tormentas y huracanes.

Sobre la clasificación de gérmenes de funciones analíticas.

Una singularidad en un espacio, por ejemplo en una curva, es un punto en donde fallan propiedades buenas, como diferenciabilidad. El análisis local de singularidades se puede hacer a través de gérmenes de funciones analíticas $f: K^n -> K^p$; y una forma de clasificar estos gérmenes es mediante cambios de coordenadas en el dominio y el contradominio de $f$. En esta plática revisaremos algunas de las técnicas usadas en esta clasificación y mostraremos algunas de las formas normales obtenidas para valores pequeños de $n$ y $p$.

Los teoremas de Gödel.

Todos sabemos, vox populi, que existen proposiciones matemáticas indecidibles; es decir, existen teoremas en matemáticas que no pueden ser demostrados ni refutados. Este enunciado informal captura la idea esencial del primer teorema de incompletitud de Gödel. En esta plática hablaré de este resultado y de otros dos, menos célebres y también probados por Kurt Gödel: el segundo teorema de incompletitud y el teorema de completitud. Lo sorprendente de estos teoremas, además de los resultados, es la sencillez de las ideas detrás de sus demostraciones, de las cuales también hablaré.