Conferencias 2019

Topología de Singularidades

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Quandles y la variedad de representación

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Números Construibles y Origami.

En esa plática, hablaremos de los números contruibles con regla y compas, y les compararemos con los números construibles con los origamis respecto o los axiomas de Huzita. Terminaremos construyendo una pirámide de Sierpinski en origami.

Teoría de Números Cuasicristalinos.

Sea $K/\mathbb{Q}$ una extensión finita de campos, $\mathbb{Q}$ = los racionales. El 12 problema de Hilbert pide una descripción explícita de todas las extensiones abelianas de $K$ (o al menos de una familia cofinal de extensiones finitas). Cuando:

1. $K=\mathbb{Q}$, la solución se dio por el Teorema de Kronecker-Weber, donde la familia cofinal consiste de extensiones ciclotómicas, generadas por raíces de unidad.

2. $K$ es cuadrática y compleja, hay una curva elíptica (toro) $E_{K}$ asociada a $K$. Luego la solución se dio por el Teorema de Weber y Fueter, donde las extensiones son generados por el invariante modular de $E_{K}$ y ciertos valores de su función de Weierstrass.

Si $K/\mathbb{Q}$ es cuadrática y real, hay un toro cuántico $T_{K}$ asociado a $K$. Definí con Carlos Castaño-Bernard una versión cuántica del invariante modular para $T_{K}$, que conjeturalmente puede ser usado para generar el campo de clase de Hilbert de $K$ (una extensión abeliana importante).

Esta conjetura tiene análogo para $K$ cuadrática y "real" sobre el campo de funciones $Q=\mathbb{F}(T)$ (donde $\mathbb{F}$ es un campo finito). Con Luca Demangos, demostramos esta conjetura usando ciertos anillos de enteros especiales que son disponibles en este ambiente, cuyas contrapartes en el caso clásico de $K/\mathbb{Q}$ no son anillos en el sentido usual sino anillos quasicristalinos: monoides que son casi cerradas respeto a la suma. Discutiremos la teoría de números emergente basada en anillos quasicristalinos y la teoría de "Galois-Cantor" esperada.

Análisis de la cuerda vibrante con extremos fijos

En esta plática plantearemos y resolveremos la ecuación diferencial parcial que modela la vibración de una cuerda que está fija en sus extremos. Se aplicarán nociones básicas de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales ordinarias.

La conjetura de Zariski

La famosa conjetura de la multiplicidad de Zariski es un problema geométrico que fue propuesto por el matemático estadounidense Oscar Zariski en 1970. Sin embargo, casi 50 años después el problema aún sigue sin una solución. En esta plática, vamos a hablar sobre la historia de la conjetura y sobre los últimos avances obtenidos por los matemáticos en el intento de resolver este interesante problema.

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Sobre el problema de autovalores y su geometría en física matemática

Estudiaremos dos problemas específicos con el fin de describir el papel que juegan autovalores y su geometría asociados a operadores para la ecuación de onda en una guitarra y un tambor. Comentaremos sobre el problema acerca de "si uno puede escuchar la forma de un tambor".

Problemas inversos en la Medicina.

Tomografía óptica difusa (DOT por sus siglas en Inglés) es una técnica médica que proporciona información de tejido funcional, oxigenación y detección de tumores. DOT es matemáticamente descrita como un problema inverso que puede ser modelado por la ecuación de transferencia radiativa.

Basados en mediciones que consisten en el flujo a través de la frontera, los coeficientes de absorbción y dispersión de la ecuación son reconstruidos simulatenamente dentro de la región de interés. El problema inverso en DOT es nolineal y severamente mal planteado, así que éste requiere de técnicas de regularización. Dos algoritmos de reconstrucción son propuestos, el primero promueve "sparsity", mientras que el segundo usa un método de conjunto de nivel. También platicarmeos de una variante de DOT llamada tomografía fluorescente.

Cosas sobre la Probabilidad

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Una Introdución al análisis en Álgebras de Clifford

Daremos primero una introducción a las álgebras de Clifford o álgebras geométricas de manera histórica. Empezaremos con los cuaternios de Hamilton y el álgebra exterior de Grassman para construir estas álgebras y ver algunas de sus propiedades.

A continuación comparamos brevemente la variable compleja y el calculo vectorial en $R3$, desde el punto de vista algebraico y analítico. Con esto pretendemos motivar el estudio de ciertas clases de funciones con valores en el álgebra geométrica y sus respectivos operadores diferenciales. Como ejemplo de las propiedades de esta clase de funciones veremos representaciones integrales.

Grupos Kleinianos

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