Mars 2014, 4ème défi

Le 28 mars 2014 - Ecrit par Rechtman, Ana Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

On a $19$ poids différents de $1\,gr, 2\,gr, 3\,gr,..., 19\,gr$. Neuf sont en acier, neuf sont en bronze et un est en or. Si on sait que les poids en acier pèsent au total $90\,gr$ de plus que le poids total de ceux en bronze, combien de grammes pèse le poids en or ?

Solution du 3ème défi de mars

Enoncé

La réponse est $210\, cm^2$.

En appliquant le théorème de Pythagore on a
a^2+b^2 = c^2

a^2+b^2 = (49-a)^2

b^2 = 49(49-2a)

b^2 = 7^2(49-2a).

Ainsi, $49-2a$ doit être un carré. Comme $49-2a$ est impair et $a>0$, $49-2a=1, 9$ ou $25$.

Si $49-2a=1$, $a=24\,cm$, donc $c=25\,cm$ et $24< b< 25$, ce qui est impossible.
Si $49-2a=9$, $a=20\,cm$, donc $c=29\,cm$ et
$b=\sqrt{7^2\cdot 9}=21\,cm$. Ainsi, l’aire est $\frac{ab}{2}=\frac{20\times 21}{2}=210\,cm^2$.
Si $49-2a=25$, $a=12\,cm$, donc $c=37\,cm$ et $b=\sqrt{7^2\cdot 25}=35\,cm$. Ainsi, l’aire est $\frac{ab}{2}=\frac{12\times 35}{2}=210\,cm^2$.

Par conséquent, l’aire du triangle est de $210\,cm^2$.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de mars, La courbe de Menger par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Rechtman, Ana

Commentaire sur l'article

Mars, 4ème défi

le 28 mars 2014 à 11:09, par Bernard Hanquez

La réponse est 10 gr. J’ai trouvé un peu par hasard.

Le poids total est 1+2+3+...+19 = 19x20/2 = 190 gr
Le poids minimum des poids en bronze est 45 gr (1+2+3+...+9), dans ce cas les poids en acier pèsent 45+90 = 135 gr (ce sont les poids de 11 à 19 gr).
Les poids en bronze et en acier pèsent donc 180 gr et il reste le poids en 10 gr qui est celui en or.

J’ignore s’il existe d’autres solutions.
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Mars, 4ème défi

le 28 mars 2014 à 12:25, par Kamakor

C’est la seule solution oui.

D’une part, puisque 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9, 45gr est le poids minimal possible du bronze. On en déduit que 45+90=135 est alors le poids minimal de l’acier.

Par ailleurs, on a 135=19+18+17+16+15+14+13+12+11 d’où 135 gr est aussi le poids maximal de l’acier.

Par conséquent, l’acier pèse exactement 135gr et le bronze 45gr (135-90).

Il s’ensuit que les poids de 1gr à 9gr sont en bronze et les poids de 11gr à 19gr en acier. Celui en or pèse donc 10gr.
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Mars, 4ème défi

le 2 avril 2014 à 08:57, par Daniate

Je propose une autre méthode. Parmi tous les poids l’un n’est ni gris mat, ni gris brillant. Il ne reste plus qu’à le peser pour trouver 10 g.
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