Y entre nuestros lectores asiduos, citemos a Nestor Burma [1] : 

Produzco algunos billetes tentadores. Ella, que tanto sedujo en el pasado, se deja seducir a su vez y, tras algunos remilgos, me proporciona una descripción de los dos tipos -uno alto y otro bajo, al parecer- que prueba, por nueve, que he desperdiciado mi dinero.}

Como de costumbre, Nestor Burma tiene razón, aunque pase por alto la sutileza de que la prueba del nueve es solo una indicación de la validez de su afirmación y no es necesariamente una prueba irrefutable. Vamos a ver por qué.

La prueba del $9$ enseñada en la escuela primaria

Fijamos ahora nuevas reglas de cálculo. En ellas, decidimos que $9$ vale $0$. Los demás dígitos conservan su valor habitual, pero, por supuesto, cuando los sumamos o multiplicamos, recordamos que $9$ vale $0$, lo que anotaremos como $9\equiv 0$. Por ejemplo : $5+4\equiv 9\equiv 0$, $10\equiv 9 +1 \equiv 0+1 \equiv 1$, o incluso $14\equiv 9+5\equiv 0+5 \equiv 5$. Más complicado :

• $28\equiv 3\times 9+1\equiv 0+1 \equiv 1$, 
• $228\equiv 2\times 10\times 10 +28\equiv 2\times 1 \times 1 +1 \equiv 2+1\equiv 3$, 
• $1000\equiv 10 \times 10 \times 10 \equiv 1\times 1\times 1 \equiv 1.$

Ya lo habrás comprendido y puedes verificarlo en estos ejemplos : con estas reglas, se identifica un número mediante el símbolo $\equiv$ con la suma de sus dígitos anulando los $9$ que aparezcan en dicha suma, y luego esta suma de nuevo con la suma de sus dígitos, y así sucesivamente hasta encontrar un número entre $0$ y $8$, que llamamos su equivalente. Y como todas las potencias de $10$ son equivalentes a $1$, se constata que todo número es equivalente, con estas reglas, al resto de su división por $9$.

Por ejemplo :
\[ 7689076543765439 \equiv 7+6+8+7+(6+3)+7+(6+3) \equiv 1+7 \equiv 8,\]lo cual es un cálculo del hecho de que el equivalente de $7689076543765439$ es $8$ (y por tanto que el resto de la división por $9$ de este número es $8$).

En este juego, y es una consecuencia de lo que seguirá, un múltiplo de $9$ se identifica con $0$ y todo número identificado con $0$ es un múltiplo de $9$. Como cualquier número se identifica con la suma de sus dígitos, esto le recuerda a Georges Perec [2] :

Recuerdo que todos los números cuyas cifras dan un total de nueve son divisibles por nueve (a veces pasaba las tardes comprobándolo...)

También nos permite verificar que un número es múltiplo de $9$ si y solo si la suma de sus dígitos es múltiplo de $9$. Y ¡catapum !, $2009 \equiv 2$ no es divisible por $9$. Habría que haber esperado a $2016$ para que la fecha del $9-9-2016$ a las $9H09$ fuera completamente divisible por $9$...

En general, se enseña la prueba del $9$ como medio de verificación parcial de las multiplicaciones, cuyo cálculo a mano genera muchos errores. La idea es sustituir los números cuyo producto se calcula por sus equivalentes. El equivalente del resultado debe ser igual al resultado del cálculo sobre los equivalentes para validar la prueba del $9$.

Para verificar que $4289\times27=115803$ se dibuja una cruz ; en la parte superior de la cruz se coloca el equivalente de $4289$, es decir $5$, abajo el equivalente de $27$, es decir $0$, a la izquierda el producto de los dos equivalentes $5\times0=0$ y a la derecha, el equivalente del resultado que se ha hallado, es decir $1+1+5+8+3\equiv 0$. 

Los dos coinciden. La prueba del $9$ está validada. Aquí otro ejemplo : $5315\times732=3890480$ y la cruz correspondiente que indica que la prueba del $9$ no está validada.

¿Qué prueba esto ?

Tomemos el primer ejemplo, se ve fácilmente que resultados como $1503$, $0$, aunque sean imposibles por razones de orden de magnitud, validan la prueba del $9$ ; incluso $176823$. 

La prueba del $9$ dice precisamente que hemos encontrado el resultado correcto salvo por un múltiplo de $9$,

lo cual, dada la economía de cálculos realizados, no está tan mal. Y sobre todo, 

si la prueba del $9$ es falsa, el cálculo es falso,

asumiendo, por supuesto, que el cálculo muy sencillo de la prueba del $9$ sea correcto.

De manera notable, el uso de esta prueba es un ejemplo de condición necesaria no suficiente, y sin duda uno de los primeros ejemplos que uno encontraba en su escolaridad. Para que un cálculo sea correcto, es necesario que la prueba del $9$ sea validada, pero esto no es suficiente. Puede ser que la prueba del 9 sea correcta y el cálculo falso. En cambio, como ya hemos recordado, si la prueba del $9$ no es correcta, el cálculo es falso. 

Y, a veces sucede : nuestro cálculo es correcto pero nos hemos equivocado en el cálculo de la prueba del $9$, que entonces no resulta válida...

¿Por qué limitarse a la multiplicación ?

No hay ninguna razón para limitarse a la verificación de las multiplicaciones.

Hagamos la prueba del $9$ :

• de una suma : $56789+12300004567=12300061356$. Calculamos : $56789\equiv 8$, $12300004567\equiv 1$ y $12300061356\equiv 0$, lo cual es válido ya que $0\equiv 8+1.$ 
• de una resta : para hacer la prueba del $9$ de $12300061356-56789=12300004567$, se prueba el resultado de la suma : $12300004567+56789$.
• de una división euclídea : $12300004567$ dividido por $56789$ da un cociente de $216591$ y un resto de $18268$, lo que se expresa como $12300004567=56789\times216591+18268$. Es este resultado el que verificamos : $216591\equiv 6$, $18268\equiv 7$, de modo que $56789\times216591+18268\equiv 8\times6+7\equiv 1$ y tenemos efectivamente $12300004567\equiv 1$.

¿Y la prueba por otro entero ?

Juguemos al juego anterior con el $11$ : decidimos ahora que $11$ vale $0$. Entonces identificamos $10$ con $11-1=-1$, $100=10\times10$ con $(-1)^2=1$, $1000$ con $(-1)^3=-1$ ; por tanto, las potencias pares de $10$ con $1$ y las potencias impares de $10$ con $-1$, e identificamos un entero con la suma alternada de sus dígitos.

$1234567890$ se identifica entonces con $-1+2-3+4-5+6-7+8-9+0$, es decir, con $-5$ y, por lo tanto, también con $6=11-5$, número identificado con -5.

Dejamos al lector el cuidado de explicitar qué es la prueba del $11$. Si las pruebas del $9$ y del $11$ de un cálculo son correctas, entonces dicho cálculo es correcto salvo por un múltiplo de $99$, ya que $11$ y $9$ son primos entre sí (sin divisor común).

Tampoco hay razón para limitarse a la prueba del $9$ y del $11$, aunque, como se ha comprendido, el $9$ y el $11$ están particularmente adaptados a nuestra notación decimal.

¿Qué da la prueba del $2$ ? Pues consiste en identificar todos los enteros pares con $0$ y los enteros impares con $1$. Hacer la prueba del $2$ consiste entonces en verificar que el producto de dos números impares es impar, que el producto de un número par por otro número es par, que la suma de dos números impares es par, etc.

¿Qué da la prueba del $1$ ? No gran cosa, ya que entonces todos los números se identifican con $0$ y la prueba del $1$ siempre es correcta sea cual sea el cálculo, ¡puesto que por ejemplo $0+0=0$ !

Y ahora, ¿la prueba del $0$ ? En este caso, $0$ se identifica con $0$ y... eso es todo. No se cambia estrictamente nada. Hacer la prueba del $0$ consiste en repetir los cálculos de forma idéntica.

Es jugando al mismo juego con el $5$ como la matemática Sophie Germain demostró, a principios del siglo XIX, que si $x,y,z$ son soluciones enteras de la ecuación
\[x^5+y^5=z^5,\]
entonces $x$, $y$ o $z$ son múltiplos de $5$. Este enunciado de Sophie Germain fue una primera etapa importante para el caso correspondiente al exponente $5$ del teorema de Fermat.