Don Quichotte veut offrir à sa dame, la sublime Dulcinée du Toboso, du chocolat pour la Saint-Valentin [2].
Selon les canons de l’amour courtois,
le parfait galant se procure deux morceaux rectangulaires
de taille $a\times b$ et $c\times d$ de ce péché capital. Le nombre total
$a\cdot b+c\cdot d$ de carrés doit être un nombre premier
car rien ne peut diviser deux amoureux. L’orientation compte :
les deux emballages illustrent
le courage du chevalier et la beauté de sa dame : Deux morceaux de
taille respectivement $a\times b$ et $b\times a$ seront donc considérés comme
différents si $a$ et $b$ ne sont pas égaux.
Les coutumes barbares du Moyen Âge prescrivent au gentilhomme
d’offrir un délicieux morceau de taille $c\times d$ à sa dame
et d’endurer stoïquement les inconvénients gastriques
liés à la difficile digestion du gros morceau de taille
$a\times b$ avec $a$ et $b$ tous les deux strictement supérieurs
à $c$ et $d$. Certains historiens justifient cette tradition par
l’homéopathie : la finesse d’un chocolat est
inversement proportionnelle à sa quantité. (D’autres historiens,
plus romantiques, prétendent au contraire que la modestie du
chevalier lui impose de ne pas exagérer ses exploits,
dépeints sur l’emballage du morceau destiné à son adorée,
par une représentation surdimensionnée. J’omets ici
une troisième explication, colportée par des mauvaises langues
envieuses.)

C’est sans aucun doute à cette occasion que
Don Quichotte a découvert le résultat
suivant qui porte désormais son illustre nom [3] :

Illustrons ce théorème avec le cas du nombre premier $23$ :

Les
$(23+1)/2=12$ écritures possibles sont :
\[\begin{array}{ll} 23\cdot 1+0\cdot 0,\qquad&1\cdot 23+0\cdot 0,\\ 11\cdot 2+1\cdot 1,&2\cdot 11+1\cdot 1,\\ 7\cdot 3+2\cdot 1,&3\cdot 7+2\cdot 1,\\ 7\cdot 3+1\cdot 2,&3\cdot 7+1\cdot 2,\\ 5\cdot 4+3\cdot 1,&4\cdot 5+3\cdot 1,\\ 5\cdot 4+1\cdot 3,&4\cdot 5+1\cdot 3.\\ \end{array}\]
Par contre, les expressions
\[22\cdot 1+1\cdot 1,\ 1\cdot 19+2\cdot 2,\ 3\cdot 6+5\cdot 1,\ 3\cdot 1+5\cdot 4\]
sont interdites car ces expressions
(qui sont pourtant bien de la forme $a\cdot b+c\cdot d$)
ne satisfont pas l’inégalité stricte $\min(a,b)>\max(c,d)$.

L’idée de la preuve du
théorème de Don Quichotte est de combattre des moulins à vent, voir
le début du chapitre 8 de la célèbre
autobiographie de Don Quichotte
écrite au noir par la fameuse plume de Cervantes.

La prépublication [1] à paraître dans American Mathematical Monthly, en est une transcription en langage moderne.
Le lien avec les moulins à vent s’obtient en associant à une solution
$p=a\cdot b+c\cdot d$ le sous-réseau $\mathbb Z(a,c)+\mathbb Z(-d,b)$
d’indice $p$ dans $\mathbb Z^2$. Les deux générateurs $(a,c)$
et $(-d,b)$ appartiennent alors respectivement aux voiles (noirs
sur la figure) orientés
E-NE et N-NW (utilisant les conventions anglaises pour une rose des vents)
de la figure évoquant un moulin à vent.

Les quatre voiles noires orientées E-NE, N-NW, W-SW, S-SE et les quatre voiles blanches orientées N-NE, W-NW, S-SW, E-SE

Une généralisation de ce résultat décrivant l’ensemble de tous les entiers qui
sont sommes de deux carrés était énoncée pour la première fois sous forme d’annotation
dans une traduction par Albert Girard d’un traité d’arithmétique
de Simon Stevin. Il est cependant généralement attribué à Fermat qui l’a
précisé en spécifiant le nombre de façons différentes d’écrire un entier comme somme de deux carrés.
Leonard Euler fut le premier à donner une preuve de ce résultat.

Preuve du théorème de Fermat à partir du théorème de Don Quichotte :
Si le premier $p$ appartient à $1+4\mathbb N$, alors $(p+1)/2$ est impair et
l’involution $a\cdot b+c\cdot d\longmapsto b\cdot a+d\cdot c$ agissant sur l’ensemble des $(p+1)/2$
écritures énumérées par le théorème de Don Quichotte
a donc (au moins) un point fixe donné par $a=b>c=d$.

Dans la suite, nous allons d’abord donner la liste des solutions
pour les premiers impairs jusqu’à $29$.

Un dépliant décrit ensuite une construction naïve des solutions.

Nous terminons avec une remarque sur la genèse du théorème de
Don Quichotte. Le lecteur peut bien sûr continuer à donner sa
préférence à la version de l’introduction.

Liste des solutions pour petits premiers impairs  : Pour $p=3$ on
n’a que

\[\begin{align*} 3&=3\times 1+0\times 0\\&=1\times 3+0\times 0 \end{align*} \]

et on a donc bien
$2=(3+1)/2$ solutions.

Les $(5+1)/2=3$ solutions pour $p=5$ sont données par

\[\begin{align*} 5&=5\cdot 1+0\cdot 0\\ &=1\cdot 5+0\cdot 0\\ &=2\cdot 2+1\cdot 1. \end{align*}\]

Les $(7+1)/2=4$ solutions pour $p=7$ :

\[\begin{align*} 7&=7\cdot 1+0\cdot 0\\ &=1\cdot 7+0\cdot 0\\ &=3\cdot 2+1\cdot 1\\ &=2\cdot 3+1\cdot 1. \end{align*}\]

Les $(11+1)/2=6$ solutions pour $p=11$ :

\[\begin{align*} 11&=11\cdot 1+0\cdot 0\\ &=1\cdot 11+0\cdot 0\\ &=5\cdot 2+1\cdot 1\\ &=2\cdot 5+1\cdot 1\\ &=3\cdot 3+2\cdot 1\\ &=3\cdot 3+1\cdot 2. \end{align*}\]

Pour avoir des listes plus courtes, on va supposer dorénavant
$a\geq b>c\geq d$ en tenant compte des solutions
oubliées par une multiplicité $\mu=\frac{1}{4}2^{\sharp\{a,b,c,d\}}$
(égale à $1$ si $a=b>c=d$,
égale à $2$ si $a=b>c>d$ ou $a>b>c=d$ et égale à $4$
dans les autres cas, c’est-à-dire si $a>b>c>d$).

On obtient ainsi
\[\begin{array}{|r|l|r|} \hline p&a\cdot b+c\cdot d&\mu\\ \hline\hline 13&13\cdot 1+0\cdot 0&2\\ &6\cdot 2+1\cdot 1&2\\ &4\cdot 3+1\cdot 1&2\\ &3\cdot 3+2\cdot 2&1\\ &&7\\ \hline 17&17\cdot 1+0\cdot 0&2\\ &8\cdot 2+1\cdot 1&2\\ &4\cdot 4+1\cdot 1&1\\ &5\cdot 3+2\cdot 1&4\\ &&9\\ \hline 19&19\cdot 1+0\cdot 0&2\\ &9\cdot 2+1\cdot 1&2\\ &6\cdot 3+1\cdot 1&2\\ &4\cdot 4+3\cdot 1&2\\ &5\cdot 3+2\cdot 2&2\\ &&10\\ \hline 23&23\cdot 1+0\cdot 0&2\\ &11\cdot 2+1\cdot 1&2\\ &7\cdot 3+2\cdot 1&4\\ &5\cdot 4+3\cdot 1&4\\ &&12\\ \hline 29&29\cdot 1+0\cdot 0&2\\ &14\cdot 2+1\cdot 1&2\\ &7\cdot 4+1\cdot 1&2\\ &9\cdot 3+2\cdot 1&4\\ &5\cdot 5+4\cdot 1&2\\ &5\cdot 5+2\cdot 2&1\\ &5\cdot 4+3\cdot 3&2\\ &&15\\ \hline \end{array}\]
pour les premiers $13,17,19,23$ et $29$. La dernière colonne donne la multiplicité (respectivement le nombre total de solutions donné par
la somme des multiplicités)
associée à la solution de la colonne du milieu.

Le lecteur se convaincra facilement en faisant quelques exemples
supplémentaires de l’importance des factorisations des deux
produits $a\cdot b$ et $c\cdot d$. Le théorème de Don Quichotte
est donc peut-être un terrain de jeu ludique pour travailler des notions
autour de la primalité et de la factorisation.

Le dépliant suivant décrit une façon naïve (illustrée à l’aide du
premier $p=101$) de construire la liste des solutions.

Remarque finale. L’auteur de ce billet est tombé sur le théorème de
Don Quichotte par pure sérendipité en étudiant une version matricielle
de l’algorithme d’Euclide calculant le pgcd de deux entiers :
La version la plus rudimentaire (fortement déconseillée quand les arguments
sont grands)
de l’algorithme consiste à itérer l’application
\[(a,b)\longmapsto (\max(a,b),\max(a,b)-\min(a,b))\]
(pour $a,b$ dans $\mathbb N$) jusqu’à stabilisation.

Considérons maintenant une matrice carrée
$\left(\begin{array}{cc}A&B\\C&D \end{array}\right)$
avec $A,B,C,D$ dans $\mathbb N$ et soustrayons une ligne ou une
colonne de l’autre ligne ou colonne à condition de ne pas créer
de coefficient strictement négatif. Cette opération préserve
le déterminant $n=AD-BC$ (ainsi que le pgcd des quatre coefficients)
et se termine avec une matrice satisfaisant $\min(A,D)>\max(B,C)$
si $n>0$. Le nombre de telles matrices ’irréductibles’ de déterminant
$n\geq 1$ donné est égal à
\[\sum_{d\vert n,\ d^2\geq n} (d+1-n/d),\]
voir [2] et la question [4] sur Mathoverflow (une espèce
de Facebook pour mathématiciens où je dis souvent des choses
fausses ou stupides).

Un changement de signe, fait par curiosité procrastinative, dans un
programme très court écrit pour vérifier la formule ci-dessus dans les petits
cas permet facilement de deviner le théorème de Don Quichotte,
voir également la question [5] sur Mathoverflow.

Bibliographie

[1] ↑↑Bacher, R. (2022),
A Quixotic Proof of Fermat’s Two Squares Theorem for Prime Numbers,

[2] ↑ Bacher, R. (2023),
Euclid meets Popeye : The Euclidean Algorithm for $2\times 2$ matrices,

[3] ↑de Cervantes, M. (1605),
El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha, Madrid.

[4] ↑Mathoverflow, MO405035.

[5] ↑Mathoverflow, MO405505.