Avant-propos

Nous voulons utiliser les règles de la mécanique quantique dans le traitement de l’information. Le lien entre la mécanique quantique et la théorie de l’information apparaît à partir de l’observation suivante. L’unité minimale d’information dans un ordinateur est le bit, qui peut adopter seulement deux valeurs : soit $0$ soit $1$. Nous pouvons penser à introduire un « bit quantique », un qubit. Il devra suivre les règles de la mécanique quantique. En particulier, le principe de superposition permettrait au qubit d’adopter une infinité d’états possibles et non seulement $0$ ou $1$. L’état du qubit dans la réalité est indéterminé, mais lors d’une mesure explicite, nous le forcerions à se définir soit en $0$ soit en $1$. De manière générale, un qbit a une certaine probabilité $p$ de valoir $1$ et une probabilité $1-p$ de valoir $0$. Nous allons voir comment Alice et Bob vont utiliser ce phénomène afin d’élaborer une stratégie quantique pour le jeu CHSH !

Un autre phénomène de la mécanique quantique qu’Alice et Bob vont exploiter pour la conception de leur stratégie quantique est l’enchevêtrement quantique (terminologie introduite par Schrödinger). Ce phénomène est interprété comme une apparente communication entre Alice et Bob pendant le jeu quantique malgré la séparation des joueurs ! L’origine physique de cette observation se trouve dans le paradoxe EPR (introduite par Einstein, Podolsky et Rosen). Le paradoxe met en évidence qu’en physique quantique mesurer telle information sur une particule permet d’obtenir instantanément et indépendamment des distances une information sur une autre particule, ce qui contredit le fait que rien ne va plus vite que la vitesse de la lumière !

Pour ce qui concerne la mécanique quantique, ses principes et ses rapports avec la théorie de l’information nous renvoyons aux excellents articles Surprenant hasard quantique, Subtile mécanique quantique et À la découverte de la mécanique quantique par Stephan De Bièvre.

Le jeu CHSH

Le jeu CHSH est considéré comme un précurseur du calcul quantique. En effet, en utilisant cette expérience de pensée, on peut se questionner sur l’utilité de la mécanique quantique pour améliorer les tâches de traitement de l’information. Cette perspective impose une séparation conceptuelle entre la tâche en soi (qui est toujours classique) et les méthodes ou la stratégie pour la résoudre (qui peut être quantique).

L’idée générale du jeu est la suivante. Alice et Bob se placent dans deux salles séparées de sorte qu’ils ne peuvent pas communiquer. Rappelons qu’un bit est l’unité minimale d’information qui peut valoir soit $0$ soit $1$. L’arbitre envoie à chacun un bit, disons $x$ et $y$ respectivement. Ces bits sont choisis de manière aléatoire et ils représentent les questions de l’arbitre. Ensuite, Alice et Bob doivent chacun répondre en transmettant un autre bit à l’arbitre, disons $a$ et $b$, respectivement. La règle pour gagner le jeu, c’est-à-dire la condition de réussite d’Alice et Bob est que les bits-questions $x$ et $y$ avec les bits-réponses $a$ et $b$ doivent vérifier les conditions suivantes :

• Si $x$ ou $y$ est le bit $0$, alors $a$ et $b$ doivent être égaux.
• Si $x=1$ et $y=1$, alors $a$ et $b$ doivent être différents.

En utilisant la règle d’addition des bits, nous pouvons coder ces deux conditions avec l’équation suivante :

\[a+b=xy.\]

Afin de gagner le jeu, Alice et Bob ont le droit de se mettre d’accord en amont sur une stratégie à suivre et ils peuvent partager des informations communes dès le départ afin de concevoir une stratégie conjointe. En pratique, l’information commune qu’Alice et Bob vont partager n’est pas quelque chose de tangible ; ce n’est pas non plus une donnée explicite de la part du maître du jeu. Il s’agit plutôt d’une conséquence des règles de la mécanique quantique, notamment de l’enchevêtrement quantique !

Formalisation mathématique du jeu

Décrivons ce jeu de manière plus mathématique. Toutes les questions et réponses du jeu étant des bits, elles appartiennent à l’ensemble $\{0,1\}$. Notons $I_A$ et $I_B$ les ensembles des questions pour Alice et Bob, respectivement. Notons $O_A$ et $O_B$ les ensembles des réponses d’Alice et Bob, respectivement. Donc :
\[I_A=\{0,1\}\mbox{, }O_A=\{0,1\}\mbox{, }I_B=\{0,1\}\mbox{, }O_B=\{0,1\}.\]

Dire que l’arbitre choisit de manière aléatoire uniformément et indépendamment les bits qu’il envoie à Alice et à Bob, signifie qu’il utilise la loi de distribution uniforme sur $I_A\times I_B$. Autrement dit, l’arbitre sélectionne une question pour Alice et une autre pour Bob de manière aléatoire et chacune des questions a la même probabilité de se réaliser.

La règle pour gagner le jeu CHSH se traduit en disant que si $(x,y)\in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$, alors il faut $a=b$ ; et si $(x,y)\in\{(1,1)\}$, alors $a\neq b$. Nous allons encoder cette règle avec une fonction mathématique, disons $R$. La fonction $R$ est une fonction à quatre variables : les deux questions envoyées par l’arbitre à Alice et Bob et les réponses respectives. La fonction $R$ prend deux valeurs : $1$ si Alice et Bob ont gagné ou $0$ sinon. Plus précisément, si Alice et Bob répondent respectivement les bits $a$ et $b$ après avoir reçu respectivement les questions $x$ et $y$, alors Alice et Bob gagnent le jeu avec la paire de réponses $(a,b)$ étant donnée la paire de questions $(x,y)$, c’est-à dire $R(a,b\ |\ x,y)=1$, si $a+b=xy$. Sinon, Alice et Bob perdent le jeu avec la paire de réponses $(a,b)$ étant donné la paire de questions $(x,y)$, c’est-à dire $R(a,b\ |\ x,y)=0$.

Stratégie classique

Alice et Bob peuvent mettre en place deux types de stratégie commune avant d’être questionnés par le maître du jeu. Le premier type de stratégie consiste à répondre complètement au hasard aux questions, quelles qu’elles soient, en espérant que les réponses données conduisent à la victoire. Mais l’on sent bien que cette stratégie est pour le moins... hasardeuse (on pourrait même se demander s’il s’agit véritablement de stratégie, qui est l’art de coordonner ses actions en vue d’atteindre un but). Le second type de stratégie consiste au contraire à donner une réponse obéissant à des règles précises. Par exemple, répondre toujours $1$ quelle que soit la question, ou bien donner une réponse en fonction de la question posée (comme répondre le même bit que celui envoyé dans la question). Ce second type de stratégie est appelé stratégie classique (ou déterministe). Contrairement au type de « stratégie hasardeuse » précédent, il nécessite l’élaboration d’un algorithme. La question que doivent se poser Alice et Bob est : quel algorithme de réponses à donner maximise les chances de gagner ?

Décrivons une telle stratégie classique de manière plus mathématique. D’une part, le bit-réponse d’Alice sera une fonction de son bit-question, $f(x)$. D’autre part, le bit-réponse de Bob sera une fonction de son bit-question, $g(y)$. La question est donc, quelles sont les meilleures fonctions pour avoir $f(x)+g(y)=xy$ le plus souvent possible ?

Étant donné que les questions sont des bits, c’est-à-dire $x,y\in \{0,1\}$, il y a plus de possibilités que les questions soient telles que $xy=0$ qu’elles soient telles que $xy=1$. En effet, il y a trois combinaisons de zéro et un qui font $xy=0$ et il y en a une qui fait $xy=1$. Ensuite, selon la règle d’addition des bits que nous avons rappelée précédemment, la condition $a+b=0$ est possible uniquement lorsque $a=b$. Par conséquent, conformément à la règle du jeu CHSH, il est plus avantageux qu’Alice et Bob s’accordent pour répondre tous les deux le même bit toujours (soit $0$ soit $1$) quelle que soit la question qu’ils reçoivent. Par exemple, une stratégie classique où $f(x)=0$ pour toute question $x$ envoyée à Alice et $g(y)=0$ pour toute question $y$ envoyée à Bob, définirait un algorithme avec lequel Alice et Bob pourraient gagner le jeu très souvent. De plus, observons que de toutes les configurations possibles pour les questions $x,y$, la seule combinaison qui fait $xy=1$ est $x=1$ et $y=1$. Donc, avec l’algorithme ci-dessus Alice et Bob perdraient le jeu uniquement lorsque l’arbitre envoie la question $x=1$ à Alice et la question $y=1$ à Bob. Ceci veut dire qu’Alice et Bob perdraient le jeu uniquement $1$ fois sur $4$ ! Autrement dit, Alice et Bob gagneraient le jeu CHSH dans $75\%$ des fois en utilisant cette stratégie.

Pour ce jeu, nous pouvons écrire explicitement toutes les fonctions possibles, c’est-à-dire tous les algorithmes possibles. En effet, il y a $16$ configurations différentes qu’Alice et Bob peuvent adopter envers leur stratégie conjointe. Il est possible également de calculer les probabilités de réussite de chacune de ces stratégies. Ces calculs montrent que, effectivement, la stratégie que nous avons décrite ci-dessus est la meilleure qu’Alice et Bob puissent adopter. En conclusion, Alice et Bob peuvent gagner le jeu CHSH avec une probabilité de $75\%$ en utilisant une stratégie classique déterministe :
\[ P\big(\text{gagner CHSH, classique}\big)=\frac{3}{4}. \]

Stratégie quantique

Alice et Bob pensent que la mécanique quantique peut les aider à concevoir une meilleure stratégie pour gagner le jeu avec une probabilité supérieure à $75\%$. Voyons comme cela serait possible.

L’unité minimale d’information dans un ordinateur est le bit, qui peut adopter seulement deux valeurs : soit $0$ soit $1$. Introduisons un bit quantique ou qbit comme étant l’unité minimale d’information quantique. Le qbit est le système physique qu’Alice et Bob vont utiliser désormais pour jouer au CHSH. Il doit donc suivre les règles de la mécanique quantique. Notamment, d’après le principe de superposition, un qubit peut adopter une infinité d’états possibles et non plus seulement $0$ ou $1$. Plus précisément, un qbit peut prendre tout état superposé entre $0$ et $1$, c’est-à-dire n’importe quelle combinaison de l’état $0$ et l’état $1$ avec des nombres complexes !

Mathématiquement, une telle superposition est représentée comme un vecteur dans l’espace vectoriel complexe $\mathbb{C}^2$. Celui-ci est un espace vectoriel complexe de dimension $2$. Donc il possède une base avec deux vecteurs, à savoir $e_0$ et $e_1$ (la base canonique de $\mathbb{C}^2$). Disons que $e_0$ est le vecteur représentant l’état $0$ de notre qbit et disons que $e_1$ est le vecteur représentant l’état $1$ de notre qbit. Un état superposé pour notre qbit est donc représenté par une combinaison complexe des vecteurs $e_0$ et $e_1$, disons $ze_0+we_1$ où $z$ et $w$ sont des nombres complexes.

Nous voyons déjà que la tâche d’Alice et Bob pour jouer au jeu CHSH sera maintenant plus éprouvante et stimulante qu’avec les stratégies classiques ! En effet, même si l’arbitre a envoyé des questions précises $x$ et $y$, c’est-à-dire des bits précis à Alice et Bob, maintenant la théorie quantique leur permet d’utiliser des qbits, donc des superpositions des états $0$ et $1$ afin de concevoir une stratégie conjointe pour produire des bits-réponses !

De cette manière, une fois qu’Alice a reçu la question $x$ de la part de l’arbitre, elle considérera une certaine superposition des états $0$ et $1$ dans $\mathbb{C}^2$ qui dépend du bit-question $x$, c’est-à-dire un qbit qui dépend de $x$, disons $A(x)\in\mathbb{C}^2$. De même, une fois que Bob a reçu la question $y$ de la part de l’arbitre, il considérera une certaine superposition des états $0$ et $1$ dans $\mathbb{C}^2$ qui dépend du bit-question $y$, c’est-à-dire un qbit qui dépend de $y$, disons $B(y)\in\mathbb{C}^2$. Nous allons expliquer l’expression de ces superpositions plus tard, mais avant cela... n’oublions pas qu’Alice et Bob n’ont pas le droit de communiquer dès que le jeu quantique démarre ! Mathématiquement (ou quantiquement) cela veut dire que les espaces vectoriels $\mathbb{C}^2$ d’Alice et de Bob ne sont pas les mêmes ! Notamment, Alice devra considérer une certaine base dans $\mathbb{C}^2$ pour construire son qbit et Bob en fera de même dans son espace $\mathbb{C}^2$. La plupart du temps, ces deux bases ne seront pas les mêmes puisqu’Alice et Bob ne peuvent pas discuter pendant le jeu. Par conséquent, Alice produit un vecteur superposé dans une copie de $\mathbb{C}^2$ et Bob en fait de même dans une copie différente de $\mathbb{C}^2$ !

Une question s’impose : comment Alice et Bob peuvent-ils tirer profit de ces superpositions pour convenir d’une réponse convenable pour l’arbitre ? Rappelons que dans une stratégie classique, il suffit qu’Alice et Bob se mettent d’accord au préalable sur comment répondre selon le bit-question reçu, c’est-à-dire sur les fonctions $f$ et $g$ qu’ils utilisent pour produire leurs bits-réponses. Maintenant, Alice et Bob ont fabriqué deux vecteurs, deux qbits selon le bit-question reçu, dans des espaces indépendants... Comment produire donc chacun un bit final convenable ?

Eh bien, il est raisonnable de fabriquer un espace vectoriel complexe commun à Alice et Bob ! Il s’agit de ce que l’on appelle le produit tensoriel d’espaces vectoriels. Dans notre cas, cet espace est noté $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$, où le premier $\mathbb{C}^2$ est la copie de l’espace utilisé par Alice pour produire son qbit et le deuxième $\mathbb{C}^2$ est la copie de l’espace utilisé par Bob pour produire son qbit. Une manière imagée de faire référence à ces deux copies de $\mathbb{C}^2$ dans $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ est de dire que la copie d’Alice est la première jambe de $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ et que la copie de Bob est la deuxième jambe de $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. De manière plus générale, étant donné un vecteur $U$ dans $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$, la première jambe (resp. deuxième jambe) de $U$ est par définition la partie de $U$ exprimée en termes de la base de la première (resp. deuxième) copie de $\mathbb{C}^2$ dans $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$.

De plus, Alice et Bob vont choisir au préalable un vecteur ou qbit $U$ dans $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. Ce qbit est précisément l’information commune dont Alice et Bob disposeront pour concevoir leur stratégie conjointe. Nous allons voir qu’un tel qbit est choisi suivant le principe de l’enchevêtrement quantique et que la construction des vecteurs $A(x)$ et $B(y)$ se fera en termes de $U$ !

Du point de vue de la mécanique quantique, ce vecteur représente une communication apparente suivant le principe d’enchevêtrement quantique et la paradoxe EPR comme expliqué dans l’Avant-propos. Ce phénomène permet précisément de concevoir une stratégie plus avantageuse que dans le cas classique !

Observons que l’espace $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ permet un degré de liberté très intéressant : on peut y former des combinaisons de qbits de sorte à avoir une superposition commune à la paire des réponses d’Alice et Bob. Nous allons voir comment cet espace permet une communication apparente entre Alice et Bob pendant le jeu, qui sera très utile pour concevoir la stratégie quantique.

En effet, nous avions dit au début de l’article que, même si Alice et Bob ne peuvent pas communiquer, ils peuvent choisir une manière d’obtenir des informations communes (comme conséquence des lois quantiques) dès le départ afin de concevoir une stratégie conjointe. Mathématiquement, cette information commune sera obtenue via un qbit ou un vecteur bien choisi dans leur espace commun $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. Ce vecteur s’appelle état de Bell et il s’écrit sous la forme suivante :
\[U=\frac{1}{\sqrt{2}}(e_0\otimes e_0+ e_1\otimes e_1)\in \mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2.\]

Expliquons pourquoi ce vecteur $U$ est intéressant. Tout d’abord, ne prêtons pas attention au nombre $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ; c’est une constante qui apparaît dans la définition de $U$ afin de rendre les calculs ultérieurs plus simples et elle n’altère pas l’explication suivante.

Lorsque Alice reçoit le bit-question $x$, elle produit le qbit $A(x)\in\mathbb{C}^2$. De son côté, lorsque Bob reçoit le bit-question $y$, il produit le qbit $B(y)\in\mathbb{C}^2$. En regardant le vecteur $U$, nous remarquons que les copies de $\mathbb{C}^2$ associées à Alice et à Bob sont entremêlées puisque les vecteurs $e_0$ des bases canoniques respectives de chaque copie de $\mathbb{C}^2$ et les vecteurs $e_1$ des bases canoniques respectives de chaque copie de $\mathbb{C}^2$ sont entremêlés eux aussi dans le produit tensoriel. De plus, les tenseurs $e_0\otimes e_0$ et $e_1\otimes e_1$ font partie de la base canonique de $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. Par conséquent, ce sont des vecteurs qui ne peuvent pas se simplifier plus ! Enfin, notons que le premier $e_0$ (respectivement, $e_1$) qui apparaît dans $U$ vit dans l’espace $\mathbb{C}^2$ associé à Alice et le deuxième $e_0$ (respectivement, $e_1$) vit dans l’espace $\mathbb{C}^2$ associé à Bob. Cela veut dire que, même si la première jambe correspond à l’espace associé à Alice, l’information portée par $A(x)$ se verra toujours interférée par une part de l’information portée par $B(y)$ et vice-versa !

Ici nous utilisons le terme interférence avec une connotation positive puisque cette interférence viendra compléter de quelque manière l’information qu’Alice connaît dans le jeu et vice-versa. Cet enchevêtrement est précisément la liberté que fournit l’espace $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ et ainsi donc une communication apparente entre Alice et Bob.

Dans une telle situation, une première étape pour qu’Alice et Bob produisent leurs bit-réponses est de comparer leurs qbits avec le qbit partagé $U$. Une manière très efficace de comparer deux vecteurs consiste à projeter l’un sur la direction portée par l’autre. En géométrie euclidienne, c’est le produit scalaire qui permet de faire cette opération. La théorie quantique nous demande donc de projeter dans l’espace complexe $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. En géométrie complexe, on utilise un produit scalaire qui prend des valeurs complexes : le produit scalaire hermitien. Si $U$ et $V$ sont deux vecteurs dans l’espace $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$, nous allons noter $\langle U, V\rangle$ leur produit scalaire (hermitien), qui est bien un nombre complexe.

Avant d’expliquer la stratégie quantique qu’Alice et Bob vont suivre, préparons quelques ingrédients géométriques pour les espaces de chacun des joueurs.

Faire tourner la base

Pour commencer, faisons un peu de géométrie avec les bases de $\mathbb{C}^2$. Considérons la base canonique $\{e_0, e_1\}$ de $\mathbb{C}^2$. Ensuite, choisissons un angle $\alpha\in [0, 2\pi[$. Le but est de tourner les vecteurs $e_0$ et $e_1$ de l’angle $\alpha$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Cela nous donne respectivement les vecteurs suivants :
\[f_0(\alpha)=\cos(\alpha)e_0+ \sin(\alpha)e_1\mbox{ et } f_1(\alpha)=-\sin(\alpha)e_0+ \cos(\alpha)e_1.\]

Faisons quelques tests...

• Si $\alpha=0$, alors nous sommes censés retrouver les mêmes vecteurs $e_0$ et $e_1$. C’est bien le cas car $\cos(0)=1$ et $\sin(0)=0$. Donc $f_0(0)=e_0$ et $f_1(0)=e_1$.
• Si $\alpha=\frac{\pi}{2}$, c’est-à-dire nous faisons une rotation de $90^\circ$ degrés au sens inverse des aiguilles d’une montre, alors le vecteur $e_0$ devient le vecteur $e_1$ et le vecteur $e_1$ devient le vecteur $-e_0$. En effet, $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ et $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, donc $f_0(\frac{\pi}{2})=e_1$ et $f_1(\frac{\pi}{2})=-e_0$.

Puisque nous n’avons fait que réaliser une rotation des vecteurs $e_0$ et $e_1$ d’un certain angle, $\{f_0(\alpha), f_1(\alpha)\}$ fournit toujours une base orthonormale de $\mathbb{C}^2$. À ce stade nous disposons de deux bases (orthonormales) dans $\mathbb{C}^2$ : la base canonique $\{e_0, e_1\}$ et la base tournée de l’angle $\alpha$. Une question naturelle est de savoir comment ces deux bases sont reliées. Autrement dit, comment pouvons-nous obtenir les vecteurs d’une base donnée en termes de l’autre base ? Notamment, nous pouvons montrer que les vecteurs $e_0$ et $e_1$ s’expriment de la manière suivante dans la base $\{f_0(\alpha), f_1(\alpha)\}$ :
\[e_0:=\cos(\alpha)f_0(\alpha) - \sin(\alpha)f_1(\alpha)\mbox{ et }e_1:=\sin(\alpha)f_0(\alpha)+ \cos(\alpha)f_1(\alpha).\]

Autrement dit, les coordonnées de $e_0$ dans la base $\{f_0(\alpha), f_1(\alpha)\}$ sont $\big(\cos(\alpha), -\sin(\alpha)\big)$ et les coordonnées de $e_1$ dans la base $\{f_0(\alpha), f_1(\alpha)\}$ sont $\big(\sin(\alpha), \cos(\alpha)\big)$. Ces relations seront utiles pour des calculs ultérieurs.

Comme nous avons expliqué précédemment, le qbit est le système physique qu’Alice et Bob vont utiliser pour jouer au CHSH. Ainsi, dès qu’Alice reçoit la question $x$, elle va construire un qbit $A(x)$ dans son espace $\mathbb{C}^2$. De même, dès que Bob reçoit la question $y$, il va construire un qbit $B(y)$ dans son espace $\mathbb{C}^2$.

Dans l’espace vectoriel $\mathbb{C}^2$, que ce soit la copie associée à Alice ou celle associée à Bob, nous disposons toujours de la base canonique $\{e_0, e_1\}$. Néanmoins, afin de concevoir une stratégie collaborative, il est convenable qu’Alice et Bob considèrent des bases dans leurs copies de $\mathbb{C}^2$ respectives qui dépendent des questions reçues aussi ! Plus concrètement, étant données les questions $x$ et $y$, Alice va tourner la base canonique d’un angle $\alpha(x)$ et Bob va tourner la base canonique d’un angle $\beta(y)$. Ces nouvelles bases constituent ce que nous allons appeler l’appareil quantique d’Alice et l’appareil quantique de Bob, respectivement. C’est par rapport à ces bases qu’Alice et Bob devront réaliser leurs mesures de comparaison avec le qbit $U$. N’oublions pas que la stratégie ou algorithme doit quand même produire un bit-réponse pour Alice et un bit-réponse pour Bob. Pour cela, les projections qu’Alice et Bob vont réaliser lors de ses mesures dépendront de la réponse qu’Alice et Bob veulent produire.

— Attends, attends... ! Pourquoi devons-nous tourner la base ? Et dans ce cas, comment choisir l’angle ?! — direz-vous. En effet, ce sont de très bonnes questions... Nous allons détailler le choix des angles plus tard. Pour le moment, nous allons expliquer la stratégie générale de manière à comprendre la géométrie qui se cache dans cette stratégie quantique.

Appareil quantique d’Alice

Si Alice reçoit la question $x\in \{0,1\}$, alors elle choisit un angle $\alpha(x)\in [0, 2\pi[$. Elle fait tourner la base canonique de l’angle $\alpha(x)$ et elle produit ainsi la nouvelle base $\{f_0\big(\alpha(x)\big), f_1\big(\alpha(x)\big)\}$ de $\mathbb{C}^2$. Afin d’alléger la notation nous allons écrire tout simplement $f_0$ et $f_1$ pour les vecteurs de la base tournée de l’angle $\alpha(x)$.

Ensuite, quelles projections ou mesures réalisera Alice ? Si Alice veut donner comme réponse $a=0$, alors elle projettera $A(x)$ sur la direction portée par le vecteur $f_0$. Nous notons cette projection $P(x,0)$. Si elle veut donner comme réponse $a=1$, alors elle projettera $A(x)$ sur la direction portée par le vecteur $f_1$. Nous notons cette projection $P(x,1)$.

Appareil quantique de Bob

Si Bob reçoit la question $y\in \{0,1\}$, alors il choisit un angle $\beta(y)\in [0, 2\pi[$. Il fait tourner la base canonique de l’angle $\beta(y)$ et il produit ainsi la nouvelle base $\{g_0\big(\beta(y)\big), g_1\big(\beta(y)\big)\}$ de $\mathbb{C}^2$. Afin d’alléger la notation nous allons écrire tout simplement $g_0$ et $g_1$ pour les vecteurs de la base tournée de l’angle $\beta(y)$.

Ensuite, quelles projections ou mesures réalisera Bob ? Si Bob veut donner comme réponse $b=0$, alors il projettera $B(y)$ sur la direction portée par le vecteur $g_0$. Nous notons cette projection $Q(y, 0)$. S’il veut donner comme réponse $b=1$, alors il projettera $B(y)$ sur la direction portée par le vecteur $g_1$. Nous notons cette projection $Q(y,1)$.

Le vecteur $U$

Rappelons-nous qu’Alice et Bob partagent le qbit $U$ dans leur espace commun $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. Ce vecteur était défini en termes de la base canonique de chaque copie de $\mathbb{C}^2$ :
\[U=\frac{1}{\sqrt{2}}(e_0\otimes e_0+ e_1\otimes e_1)\in \mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2.\]

Maintenant, Alice et Bob sont en train de travailler avec leurs appareils quantiques respectifs selon les questions reçues. En particulier, ils ont choisi des bases bien précises dans leurs copies de $\mathbb{C}^2$. Il est donc nécessaire d’exprimer le vecteur $U$ en termes de ces bases.

Comme nous avions déjà remarqué, le premier $e_0$ (respectivement, $e_1$) qui apparaît dans $U$ vit dans l’espace $\mathbb{C}^2$ associé à Alice et le deuxième $e_0$ (respectivement, $e_1$) vit dans l’espace $\mathbb{C}^2$ associé à Bob. Il en résulte que le vecteur $U$ exprimé en termes des bases $\{f_0, f_1\}$ et $\{g_0, g_1\}$ s’écrit de la manière suivante :

\[U=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\big(\cos(\alpha(x))\cos(\beta(y)) + \sin(\alpha(x))\sin(\beta(y))\big)\big)f_0\otimes g_0\]
\[+ \big(-\cos(\alpha(x))\sin(\beta(y)) + \sin(\alpha(x))\cos(\beta(y))\big)f_0\otimes g_1\]
\[+ \big(-\sin(\alpha(x))\cos(\beta(y)) + \cos(\alpha(x))\sin(\beta(y))\big)f_1\otimes g_0\]
\[+ \big(\sin(\alpha(x))\sin(\beta(y)) + \cos(\alpha(x))\cos(\beta(y))\big)f_1\otimes g_1\Big).\]

Afin d’alléger la notation nous posons :
\[X=\cos(\alpha(x))\cos(\beta(y)) + \sin(\alpha(x))\sin(\beta(y)),\]
\[Y=-\cos(\alpha(x))\sin(\beta(y)) + \sin(\alpha(x))\cos(\beta(y)),\]
\[Z=-\sin(\alpha(x))\cos(\beta(y)) + \cos(\alpha(x))\sin(\beta(y)),\]
\[W=\sin(\alpha(x))\sin(\beta(y)) + \cos(\alpha(x))\cos(\beta(y)).\]

Ainsi, nous pouvons écrire $U$ comme :
\[U=\frac{1}{\sqrt{2}} \Big(X(f_0\otimes g_0)+ Y(f_0\otimes g_1)+ Z(f_1\otimes g_0) +W(f_1\otimes g_1)\Big).\]

Maintenant nous pouvons enfin dire qui sont les mystérieux qbits $A(x)$ et $B(y)$ ! Les qbits $A(x)$ et $B(y)$ sont tout simplement les parties de $U$ qui restent dans l’espace d’Alice et de Bob, respectivement par rapport aux bases tournées. Autrement dit, $A(x)$ est donné par la première jambe de $U$ dans $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ et $B(y)$ est donné par la deuxième jambe de $U$ dans $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. Notamment, nous n’avons pas une expression plus simple pour $A(x)$ et $B(y)$ que celle donnée déjà par $U$ lui même. De plus, étant donnée l’expression de $U$ ci-dessus, nous constatons que l’information portée par $A(x)$ se voit interférée par une part de l’information portée par $B(y)$ et vice-versa.

Nous pouvons ainsi donner quelques précisions sur le langage des projections que nous avons utilisé pour définir les appareils quantiques d’Alice et Bob. Quand nous disons, par exemple, qu’Alice projette $A(x)$ sur la direction portée par $f_0$, nous voulons dire qu’Alice applique la projection $P(x,0)$ à la première jambe de $U$, c’est-à-dire $(P(x,0)\otimes id)(U)$. Ou, quand nous disons que Bob projette $B(y)$ sur la direction portée par $g_1$, nous voulons dire que Bob applique la projection $Q(y,1)$ à la deuxième jambe de $U$, c’est-à-dire $(id\otimes Q(y,1))(U)$.

La stratégie quantique en termes géométriques

Une fois qu’Alice et Bob ont établi le cadre mathématique précédent, ils veulent le mettre en œuvre pour jouer au jeu CHSH. Mais il leur manque quelque chose pour matérialiser une bonne stratégie quantique... le principe d’indétermination !

D’après le principe d’indétermination, il est impossible de connaître deux états d’un système physique en même temps. Par conséquent, chaque état du système physique est associé à une probabilité d’occurrence. Par exemple, si un qbit dans $\mathbb{C}^2$ est représenté par un vecteur de la forme $v=ze_0+we_1$ où $z$ et $w$ sont des nombres complexes, alors $|z|^2$ représente la probabilité du qbit $v$ à se trouver dans l’état $e_0$ et $|w|^2$ représente la probabilité du qbit $v$ à se trouver dans l’état $e_1$ lors d’une observation concrète du qbit. Ainsi, si par exemple $|z|>|w|$, le qbit se trouvera plus probablement dans l’état $e_0$ que dans l’état $e_1$ quand on aura fait une telle observation.

Mathématiquement, les projections du qbit sur les directions portées par un état donné fournissent les probabilités que le qbit se trouve dans un tel état. En effet, puisque la base $\{e_0, e_1\}$ est orthonormale, alors nous pouvons écrire $|z|$ comme le produit scalaire de $v$ avec sa partie sur la direction portée par $e_0$, c’est-à-dire avec $ze_0$ :
\[\langle ze_0, ze_0+we_1\rangle=\langle ze_0, ze_0\rangle +\langle ze_0, we_1\rangle=z\overline{z}=|z|^2.\]

De manière similaire, nous avons $|w|^2=\langle we_1, v\rangle$. Alice et Bob vont appliquer ce principe au qbit $U$ qu’ils partagent dans leur espace commun $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$. Donc ils doivent calculer toutes les projections possibles de $U$ pour toute paire de réponses $(a, b)$ à partir d’une paire de questions $(x,y)$, c’est-à-dire :
\[P(a,b\ |\ x,y)=\langle (P(x,a)\otimes Q(y, b))(U), U\rangle,\]

pour chaque $x,y\in\{0,1\}$ et chaque $a,b\in\{0,1\}$. En fin de compte, une fois que ces calculs sont réalisés nous obtenons la probabilité suivante pour gagner le jeu CHSH avec la stratégie quantique expliquée ci-dessus :
\[ P\big(\text{gagner CHSH}, \big(\alpha(0), \alpha(1), \beta(0), \beta(1)\big)\big)\]
\[=\frac{1}{4}\Big(\cos^2(\alpha(0)-\beta(0))+\cos^2(\alpha(0)-\beta(1))+\cos^2(\alpha(1)-\beta(0))+\sin^2(\alpha(1)-\beta(1))\Big). \]

Observons que maintenant la stratégie quantique d’Alice et Bob a été conçue géométriquement en termes d’une collection d’angles selon les questions reçues. Il est donc naturel que la probabilité de gagner le jeu CHSH avec cette stratégie soit une fonction de ces angles, puisque nous n’avons pas encore fait un choix concret pour ces angles ! Quels sont les meilleurs angles pour cette stratégie ? Une fois ces angles trouvés, pourquoi augmentons-nous la probabilité de gagner au jeu ? Répondons à ces questions !

Observons que d’après les appareils quantiques d’Alice et Bob, répondre $a$ ou $b$ correspond à projeter les deux jambes du qbit $U$ sur des directions qui dépendent des réponses $a$ et $b$. Par exemple, si Alice et Bob reçoivent les questions $x$ et $y$ telles que $xy=0$, alors pour gagner le jeu Alice et Bob doivent répondre $a$ et $b$ tels que $a=b$. En termes des appareils quantiques, cela veut dire que les projections $P(x,a)$ et $Q(y,b)$ doivent donner comme résultat des droites plutôt proches entre elles lorsque $a=b$ et plutôt éloignées entre elles lorsque $a\neq b$. De cette manière nous augmentons la probabilité pour que le qbit $U$ se réalise dans l’état $f_0(\alpha(x))\otimes g_0(\beta(y))$ ou dans l’état $f_1(\alpha(x))\otimes g_1(\beta(y))$.

Quels angles choisir ?

Quelle sont les valeurs des angles $\alpha(x)$ et $\beta(y)$ pour chaque $x,y\in\{0,1\}$ telles que la probabilité de gagner le jeu soit optimale ? Nous avons déjà une réponse géométrique : les angles $\alpha(x)$ et $\beta(y)$ doivent être tels que les conditions de proximité des projections de $U$ expliquées ci-dessus soient satisfaites. Notamment, il s’agit d’optimiser la fonction à quatre variables suivante :

\[h\big(\alpha(0), \alpha(1), \beta(0), \beta(1)\big)\] \[=\frac{1}{4}\Big(\cos^2(\alpha(0)-\beta(0))+\cos^2(\alpha(0)-\beta(1))+\cos^2(\alpha(1)-\beta(0))+\sin^2(\alpha(1)-\beta(1))\Big).\]

Un tel calcul nous conduit à la solution suivante :
\[\alpha(0)=0,\ \alpha(1)=\frac{\pi}{4},\ \beta(0)=\frac{\pi}{8} \mbox{ et } \beta(1)=-\frac{\pi}{8}.\]

En introduisant ces angles dans la formule générale obtenue précédemment pour la probabilité de réussite avec cette stratégie quantique, nous obtenons que :
\[P\big(\text{gagner CHSH}, \big(0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}\big)\big)=\cos^2\big(\frac{\pi}{8}\big)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0.85.\]
Autrement dit, Alice et Bob peuvent gagner le jeu CHSH $85\%$ des fois en utilisant cette stratégie quantique !

Pourquoi cette stratégie fonctionne-t-elle $85\%$ des fois ?

La réponse à cette question repose essentiellement sur la puissance de l’enchevêtrement quantique, c’est-à-dire sur la liberté supplémentaire fournie par le produit tensoriel $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ combinée avec la stratégie géométrique des projections appropriées.

Tout d’abord, comme Alice et Bob n’ont pas le droit de communiquer pendant qu’ils jouent, nous pouvons supposer que, par exemple, Alice a fait ses mesures en premier. Supposons qu’Alice reçoit la question $x=0$ et qu’elle mesure avec la projection $P(0,0)$. Autrement dit, elle va répondre $a=0$. Donc Alice et Bob gagnent le jeu si et seulement si Bob répond $b=0$.

Étant donné qu’Alice a fait sa mesure avant Bob et qu’elle a projeté $A(x)$ sur la direction portée par $f_0(\alpha(0))$, alors le principe d’indétermination avec la superposition définie par $U$ force Bob à mesurer avec $Q(y,0)$. Autrement dit, la mesure d’Alice dévie $U$ vers son état correspondant à $f_0(\alpha(0))$. Si jamais Bob avait reçu la question $y=0$, alors il aurait projeté sur la direction portée par $g_0(\beta(0))$. C’est-à-dire, Bob aurait répondu $b=0$ et cela avec une probabilité $\cos^2(\beta(0))=\cos^2\big(\frac{\pi}{8}\big)$. Si jamais Bob avait reçu la question $y=1$, alors il aurait projeté sur la direction portée par $g_0(\beta(1))$. C’est-à-dire, Bob aurait répondu $b=0$ et cela avec une probabilité $\cos^2(\beta(1))=\cos^2\big(-\frac{\pi}{8}\big)=\cos^2\big(\frac{\pi}{8}\big)$.

Un argument similaire peut être appliqué pour le reste des configurations question-réponse.

Est-il possible de faire mieux que $\cos^2\big(\frac{\pi}{8}\big)$ ?

La réponse est celle que vous attendez : non ! Cependant la démonstration mathématique est non triviale :

Il est important de souligner que l’inégalité de Tsirelson fournit la borne optimale de succès pour le jeu CHSH en considérant toute stratégie quantique possible. Nous avons expliqué une manière intuitive de construire une telle stratégie, mais il est possible d’envisager d’autres constructions : avec des espaces vectoriels complexes de dimension supérieure, avec un enchevêtrement plus sophistiqué, etc. Le théorème affirme que, de toute manière, il n’est pas possible de faire mieux que $85\%$ de réussite. La stratégie quantique qu’Alice et Bob ont conçue précédemment est ainsi optimale :

\[P\big(\text{gagner CHSH, quantique}\big)\] \[ =P\big(\text{gagner CHSH}, \big(0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}\big)\big)\] \[=\cos^2\big(\frac{\pi}{8}\big).\]

Quelques retombées mathématiques

Afin d’améliorer la performance dans le jeu CHSH il est nécessaire d’utiliser les règles de la mécanique quantique. Cependant, il serait aussi intéressant de pouvoir classifier les stratégies quantiques entre elles. Nous pourrions penser à des stratégies quantiques plus performantes que d’autres. Intuitivement, plus l’espace vectoriel où nous réaliserons notre stratégie est grand, plus de liberté et donc plus de performance nous aurons. Notamment, nous pourrions penser à utiliser des espaces vectoriels de dimension infinie munis d’un produit scalaire hermitien. C’est ce que nous appelons un espace de Hilbert. L’inégalité de Tsirelson affirme que ce n’est pas le cas pour le jeu CHSH : il n’existe pas de stratégie quantique qui améliore le taux de réussite de $\cos^2\big(\frac{\pi}{8}\big)$.

En faisant un exercice d’abstraction du paragraphe Formalisation mathématique du jeu, nous pouvons considérer un jeu quantique $\mathbf{G}$ entre Alice et Bob comme le $6$-uplet :
\[\big(I_A, I_B, d, O_A, O_B, R\big),\]
où $I_A$ et $I_B$ sont des ensembles finis contenant les questions pour Alice et Bob, respectivement ; $d$ est une distribution de probabilité utilisée par l’arbitre pour choisir les questions ; $O_A$ et $O_B$ sont des ensembles finis contenant les possibles réponses qu’Alice et Bob peuvent émettre, respectivement ; et $R$ est une fonction qui encode les règles du jeu.

Une fois que nous avons choisi un type $t$ de stratégie (classique ou quantique), nous nous intéressons à la collection des distributions des probabilités obtenues pour gagner le jeu par rapport a toute stratégie dans la classe $t$, à savoir $\{P_t(a,b\ |\ x,y)\ |\ a\in O_A, b\in O_b \}$, pour tous $x\in I_A$, $y\in I_B$. Cette collection s’appelle corrélation de type $t$. L’ensemble de tous ces nombres est noté $\mathcal{C}_t$. Posons $t=c$ lorsque la stratégie est classique, $t=q$ lorsque la stratégie est quantique avec des espaces de Hilbert de dimension finie, $t=qs$ lorsque la stratégie est quantique avec des espaces de Hilbert non nécessairement de dimension finie. Par construction, $\mathcal{C}_c\subseteq \mathcal{C}_q \subseteq \mathcal{C}_{qs}$. L’inégalité de Tsirelson montre ainsi que $\mathcal{C}_c\varsubsetneq \mathcal{C}_q = \mathcal{C}_{qs}$.

L’étude de ces ensembles s’avère très intéressante du point de vue de l’analyse fonctionnelle. En effet, il est pertinent de se questionner par exemple sur la fermeture ou la convexité de ces ensembles afin d’y trouver des points extrémaux, c’est-à-dire des stratégies optimales dans la classe $t$. Nous renvoyons à [5] ou à [4] pour plus de précisions à ce sujet. Posons $\mathcal{C}_{qa}=\overline{\mathcal{C}_{qs}}$. Imaginons qu’Alice et Bob veulent utiliser tous les deux le même espace de Hilbert (non nécessairement de dimension finie). Dans ce cas, les projections qu’ils vont utiliser pour ces mesures devront satisfaire une certaine relation de commutativité afin de pas interférer les calculs respectifs. L’ensemble des corrélations correspondantes à cette stratégie quantique est noté $\mathcal{C}_{qc}$. Nous avons $\mathcal{C}_{qa}\subseteq \mathcal{C}_{qc}$. Il se trouve que démontrer $\mathcal{C}_{qa}= \mathcal{C}_{qc}$ est équivalent à répondre affirmativement au problème de plongement de Connes [1], [6], [3], qui est un problème central en algèbre d’opérateurs. Dans [2] les auteurs ont annoncé une séparation entre les ensembles $\mathcal{C}_{qa}$ et $\mathcal{C}_{qc}$ et donc la fausseté de la conjecture du plongement de Connes.

Le problème de plongement de Connes a des liens avec une vaste variété de problèmes en analyse fonctionnelle, théorie géométrique de groupes, algèbres de von Neumann, théorie de la complexité, etc. Il faudra attendre pour voir les applications intéressantes qui émergeront de cette recherche !

Références

[1] Connes, A. Classification of injective factors cases $II$, $II_{\infty}$, $III_{\lambda}$, $\lambda\neq 1$. Ann. Math. 104, 1 (1976),
73–115.

[2] Ji, Z., Natarajan, A., Vidick, T., Wright, J., and Yuen, H. MIP =RE. Communications of the ACM, 64, 11 (2021), 131–138.

[3] Junge, M., Navascues, M., Palazuelos, C., Perez Garcia, D., Scholz, V., and Werner, R. Connes embedding problem and Tsirelson’s problem. J. Math. Phys. 52 (2011).

[4] Musat, M. et Rørdam, M. Non-closure of quantum correlation matrices and factorizable channels that require infinite dimensional ancilla.
Communications in Mathematical Physics, 374 (2020), 1761-1776.

[5] Ortiz, C. et Paulsen, V. Quantum Graph Homomorphisms via Operator Systems. Linear Algebra and its Applications 497 (2016), 23-43.

[6] Ozawa, N. About the Connes embedding conjecture. Japanese J. Math. 8, 1 (2013), 147–183.