Introduction

Figure 2 : Le Vanuatu est un archipel de la Mélanésie qui était autrefois nommé Nouvelles-Hébrides

Il existe dans les îles du centre du Vanuatu (anciennement Nouvelles-Hébrides, figure 2), une pratique consistant à dessiner, à même le sol, des figures symétriques. Bien que dans ces îles, cette pratique soit connue de tous et que les dessins les plus simples circulent librement, il n’existe qu’un petit nombre d’experts et d’expertes (nous les nommerons praticiens) connaissant les dessins les plus ardus.

Figure 1 : Le dessin Tutel (Centre culturel de Port-Vila, 2016)

Ce sont des personnes qui peuvent être de tout âge : de jeunes dessinateurs créant de nouveaux dessins ou des aînés reconnus pour leurs connaissance encyclopédique de la pratique.
Après avoir tracé une « grille » sur un sol recouvert de sable ou de cendre, ces praticiens produisent une ligne à l’aide d’un doigt, qui ne se lève que très rarement pendant l’exécution du dessin et qui ne repasse pas continûment sur une partie ayant déjà été tracée. Une fois le dessin terminé, l’index est, dans un très grand nombre de cas, revenu au point de départ et dans la même direction. L’ensemble de ces caractéristiques rendent cette pratique d’autant plus contrainte que la plupart de ces « dessins sur le sable » possèdent généralement un ou plusieurs axes de symétrie. Dans cet article, je propose de donner un aperçu des recherches que j’ai menées chez les Raga du nord de l’île de Pentecôte (Figure 3).
Elles ont donné lieu à une thèse soutenue en 2022 (Da Silva, 2022), dont la méthodologie croise mathématiques, informatique et anthropologie.

Figure 3 : L’île de Pentecôte dans le centre de l’archipel du Vanuatu

Puisqu’il serait déraisonnable d’aborder tous ces aspects, j’ai choisi de revenir en détail sur un résultat déjà publié que j’ai appelé « théorème de la tortue », en référence au praticien qui m’a appris le dessin de la figure 1
(Vandendriessche & Da Silva, 2022).
Afin de permettre au lecteur de s’initier rapidement aux types de questions qui peuvent se poser à l’ethnomathématicien, j’ai volontairement choisi de passer sous silence le modèle mathématique que j’ai élaboré pour analyser cette pratique. Je vais d’abord donner quelques repères sur le jeune champ disciplinaire des ethnomathématiques et notamment la façon dont ont pu être analysées les différentes pratiques culturelles de « ligne continue » au sein de ce champ. Je dessinerai ensuite brièvement les contours du contexte culturel [1] dans lequel les dessins sur le sable sont produits. Dans la dernière partie de l’article, j’exposerai une procédure de dessin – présentée comme un algorithme – utilisée par les praticiens pour construire certains dessins.

Description de la méthodologie

Les ethnomathématiques

Il n’est pas toujours aisé de définir les contours des champs disciplinaires qui composent le paysage, toujours en mouvement, de la recherche. Celui des ethnomathématiques ne fait pas exception, surtout que le terme « ethnomathématiques » peut prendre plusieurs significations selon les communautés de chercheurs qui s’en réclament (science de l’éducation, ethnographes et mathématiciens notamment). L’ambition de cet article n’est ni de revenir sur une tentative de définition des ethnomathématiques, ni de discuter de ses enjeux épistémologiques – il existe une abondante littérature sur le sujet (Ascher & Ascher, 1986 ; Bishop, 1988 ; D’ambrosio, 1985 ; Eglash, 2000 ; Vandendriessche, 2015 ; Vandendriessche & Petit, 2017) – mais plutôt de présenter un exemple de recherche récente menée dans ce champ disciplinaire. Le cadre de cet article peut néanmoins être éclairé en citant Eric Vandendriessche, un acteur important de la communauté ethnomathématique francophone :

L’ethnomathématique désigne aujourd’hui, de manière générale, l’étude des usages culturellement spécifiques des concepts et savoirs mathématiques, et tout particulièrement ceux élaborés hors du champ savant et institutionnel (Vandendriessche, 2016, p.51).

L’attention des ethnomathématiciens se porte donc généralement sur les savoirs qui, ancrés dans des pratiques propres à une société donnée, ne sont pas identifiés comme mathématiques par ceux qui les détiennent. De fait, des travaux récents ont enrichi notre connaissance des savoirs mathématiques élaborés en dehors du champ académique : techniques de divination malgaches (Chemillier et al., 2007), jeux de semailles malgaches (Tiennot et al., 2015), jeux de ficelles trobriandais (Vandendriessche, 2014), frises de textiles andins (Desrosiers, 2012), lambrequins réunionnais (Tournès, 2022).... et la production de lignes continues sur le sol, thème que nous allons maintenant aborder.

Les pratiques de lignes continue, de la modélisation au point de vue des acteurs

Des activités consistant à tracer des lignes continues sur le sol ont pu être observées tout au long du 20ème siècle par des ethnologues : au nord de l’Australie chez les aborigènes Kukatja (Poirier, 2013), en Angola chez les Tchokwe où ils sont nommés sonas (Figure 4) (Fontinha, 1983 ; Kubik, 1987), au Tamil Nadu indien où ils sont nommés kolams (Figure 5) (Nagarajan, 1998 ;
Steinmann, 1989), dans une moindre mesure aux îles Tonga où ils sont aussi nommés dessins sur le sable (Bell, 1935) et enfin au Vanuatu, ce que nous allons détailler au paragraphe suivant.

Figure 5 : Réalisation d’un kolam — A.Da Silva, ville de Palani (Tamil Nadu), 2018. La praticienne trace une ligne continue à l’aide de poudre de riz.

Les sonas et les kolams ont particulièrement attiré l’attention des mathématiciens. On peut notamment citer le travail de Paulus Gerdes qui a montré que des propriétés mathématiques étaient au cœur de la construction des sonas (Gerdes, 1990, 1999) et des kolams (Gerdes, 1989). Ces derniers, en raison de leurs propriétés algorithmiques et séquentielles, font l’objet d’une importante littérature dans laquelle les auteurs en proposent des modélisations pouvant mobiliser les suites morphiques (Allouche et al., 2006), la théorie des nœuds (Ishimoto, 2006), la topologie (Gopalan & Vanleeuwen, 2015) ou encore la théorie des langages formels (Govindaraj & Mahendran, 2018 ; Waring, 2012). Ces approches ont le mérite de fournir des modèles qui suggèrent des liens entre ces pratiques et des théories que les mathématiciens ont développées dans d’autres contextes. Néanmoins, dans ces travaux, les chercheurs ont majoritairement tendance à cloisonner leurs analyses, en privilégiant leur point de vue d’observateur mathématicien, et en relayant celui des praticiens au second plan.

Bien que ce type d’approche puisse stimuler la création de nouveaux concepts mathématiques, dans les recherches que j’ai menées, la modélisation (Da Silva, 2022, chap.II, p.79) n’est pas une fin en soi. Elle est une étape importante mais intermédiaire. Reposant sur des expérimentations menées auprès de praticiens (Figure 6), elle sert deux grands objectifs :

• Saisir le point de vue des praticiens, et notamment comprendre comment, dans un contexte de tradition orale, les dessins sur le sable sont créés et mémorisés ;

• Comprendre en quelle mesure les dessins sur le sable pouvaient être révélateurs de la façon dont les Raga expérimentent et habitent le monde.

Si mon approche initiale était celle d’un mathématicien, elle a peu à peu évolué au cours de ma thèse, davantage vers celle d’un anthropologue menant un travail ethnographique et vivant pour cela au sein de la société étudiée. Je me suis donc immergé dix semaines principalement dans une des sociétés traditionnelles de l’aire culturelle Raga du nord de l’île de Pentecôte. Cet aspect de mon travail a été décisif. Ce n’est qu’en appréhendant le contexte de vie de ces populations, que j’ai pu mesurer tout le mérite des praticiens. Ceux-ci sont en effet capables, après une journée éprouvante passée aux champs, de produire des dessins d’une redoutable complexité.

Dans le sillage de Marcia Ascher et de A.B Deacon

Les premiers travaux suggérant une relation du dessin sur le sable aux mathématiques sont ceux de Marcia Ascher, l’une des pionnières de l’ethnomathématique contemporaine, (Figure 7b). Ils reposent en grande partie sur la documentation du dessin sur le sable des îles de Malekula et d’Ambrym établie entre 1924 et 1926 par un jeune ethnologue, A.B Deacon (Figure 7a).

Après son décès en 1927 suite à des complications d’une malaria, les notes de terrain de Deacon ont été rapatriées en Angleterre et publiées sous la forme d’un article posthume (Deacon, 1934). Malgré sa richesse, notamment par le nombre de dessins et d’informations qu’il contient (sous forme de planches, figure 8), cet article est resté négligé par les anthropologues, et totalement ignoré par les mathématiciens. Ce n’est que soixante ans plus tard qu’Ascher en a proposé une analyse inédite, tout d’abord sous la forme d’un article (Ascher, 1988) puis sous la forme d’un ouvrage désormais classique en ethnomathématiques “EthnoMathematics – A multicultural view of Mathematics ideas” (Ascher, 1991). Mêlant considérations ethnologiques et mathématiques, ces travaux font partie des textes séminaux de la littérature ethnomathématique (Vandendriessche & Petit, 2017). Ils se sont avérés être un point de départ idéal pour mon travail. C’est en les discutant que j’ai suggéré que de plus amples recherches ethnomathématiques sur le dessin sur le sable du Vanuatu pouvaient être pertinentes. J’ai notamment souligné que Marcia Ascher n’avait pas rencontré de praticiens et, qu’à ce titre, certaines caractéristiques du dessin sur le sable lui avaient échappé. C’est donc en menant une nouvelle ethnographie que j’ai pu prolonger son travail et obtenir des résultats nouveaux. Avant de décrire l’un d’entre eux, je vais maintenant donner quelques éléments contextuels, nécessaires à la compréhension de l’objet étudié.

Figure 8 : Une des planches originales de Deacon (source : Royal Anthropologist Institute)

Description de la pratique de dessin sur le sable

Un contexte culturel riche et varié

Le Vanuatu est un archipel composé de 83 îles ayant été nommé « Nouvelles Hébrides » lors de sa découverte par le navigateur anglais James Cook en 1774. Il a été administré par un condominium colonial franco-britannique de 1906 jusqu’à son indépendance en 1980, date à laquelle il est devenu la République du Vanuatu. Doté à ce jour d’une population d’environ 315 000 personnes, ce pays possède la plus haute densité linguistique au monde, puisqu’on y dénombre 138 langues vernaculaires (François et al., 2015). Les deux langues officielles d’éducation sont le français et l’anglais, tandis qu’il existe un pidgin nommé le Bichelamar qui fait office de langue véhiculaire. Ce constat se traduit par des réalités culturelles différentes et, s’il existe des traits communs à toutes les sociétés du Vanuatu, nombre de variations culturelles permettent à chacune d’entre elles de se démarquer. Ainsi, nous parlerons dans cet article du « dessin sur le sable du Vanuatu », mais il faut garder à l’esprit que cette pratique n’est répandue que dans les îles du centre. Deacon est l’un des premiers ethnographes à avoir documenté cette pratique [2]. Lors de son étude de terrain menée entre 1924 et 1926, visant à documenter la vie des sociétés de l’île de Malekula, le jeune ethnographe avertissait ainsi :

Bien sûr, il est dangereux de généraliser, même pour une île (Haddon Collection : Deacon papers, envelope 16001, Cambridge University Library Manuscripts Collection). [3]

Ainsi, si l’on parle de la pratique du dessin sur le sable, il est préférable de prendre quelques précautions et de préciser à quelle société du Vanuatu on se réfère. Si je me suis principalement focalisé sur la société du nord de l’île de Pentecôte, la comparaison avec d’autres sources ethnographiques permet néanmoins de donner une description générale de la place du dessin sur le sable dans toutes les sociétés du Vanuatu :

De nos jours, la pratique du dessin sur sable est reconnue comme un art graphique traditionnel avec – dans les sociétés concernées – une dimension mnémonique impliquée dans la remémoration de connaissances rituelles, mythologiques et/ou environnementales, considérée comme faisant partie de la marque Kastom [4] . Dans de nombreux cas, chaque dessin porte un nom vernaculaire lié à ces différents aspects (Vandendriessche & Da Silva, 2022, p.2).

Ajoutons que cet art éphémère – le dessin étant effacé une fois terminé – stimule la narration : les experts concluent généralement leurs dessins par le récit d’un mythe ou d’un conte. Il n’est pas rare qu’ils fassent alors appel à l’imagination des spectateurs, suggérant au sein du dessin des détails en lien avec leur histoire : des lieux, des personnages, des animaux...

La pratique obéit le plus souvent à un certain nombre de « règles » qu’il convient à présent d’énoncer. Le contexte du Vanuatu étant celui de la tradition orale, les « règles » que j’ai pu observer ne font que rarement l’objet de discours particuliers de la part des praticiens. Par règle, j’entends donc plutôt « caractéristiques observées dans la majorité des cas ».

Les « règles » de dessin

La grille

Comme mentionné, s’il existe des variations d’une île à l’autre, des traits communs de la pratique peuvent cependant être observés. Tout d’abord, au préalable de son dessin, le praticien trace une « grille », le plus souvent rectangulaire, sur un sol recouvert de sable ou de cendres (Figure 9).

Anticipons et précisons que l’analyse des gestes et du vocabulaire vernaculaire montre que les grilles jouent un véritable rôle d’armature pour le dessinateur. Chez les Raga, les lignes (horizontales ou verticales) sont des Gai, terme désignant les longs bâtons de bois utilisés pour construire les murs des imwa (cases). Les lignes verticales/horizontales sont différenciées par les termes Gaina/Gai vol volo, qui se rapportent là aussi au vocabulaire de la construction des cases, les poteaux (horizontaux) étant différenciés des traverses horizontales (Figure 10).

Figure 10 : Le vocabulaire de la grille emprunté à celui de la construction des imwa (cases traditionnelles)

Lors de mon enquête, les praticiens désignaient les croisements des lignes par le terme en Bislama joen paen (« point de jonction »), nous les appellerons donc des « nœuds ».

Les « grilles » peuvent présenter de nombreuses formes et tailles : rectangles, assemblages de rectangles, cercles concentriques... leurs formes ne semblent limitées que par la créativité des experts. Néanmoins nous nous limiterons dans cet article au cas des grilles rectangulaires.

Le tracé

Une fois la grille achevée, le praticien trace une ligne avec l’extrémité d’un doigt dont les caractéristiques sont le plus souvent les suivantes :

• La ligne est continue. Le mot « continue » est à prendre ici dans son sens mathématique : le doigt ne se soulève pas du sol pendant la réalisation du dessin [5] ;

• le tracé n’intersecte la grille qu’en ses nœuds. Le tracé s’effectue donc d’un nœud de la grille à un autre ;

• en chacun de ces nœuds, le tracé s’appuie sur une des deux droites (Figure 11). Lorsque le doigt traverse le nœud, il n’y a généralement pas de rupture de direction et donc pas de point anguleux ;

• le dessinateur évite de repasser continûment sur une partie déjà existante. Il peut néanmoins créer des points de croisement. C’est notamment le cas des nœuds de la grille qui sont souvent traversés plusieurs fois.

• une fois le dessin terminé, l’index est revenu au point de départ.

Figure 11 : Chaque nœud traversé par le doigt l’est selon une des deux directions rouges.

Muni de ces « règles », nous pouvons désormais passer à la description d’une procédure de dessin, dont nous allons montrer qu’elle peut être considérée comme un algorithme dépendant de la taille de la grille.

L’algorithme de la tortue

Avant de détailler « l’algorithme de la tortue », précisons l’origine de cette appellation. Elle est mienne car, à ma connaissance, elle ne fait pas l’objet d’une désignation vernaculaire. Ce choix fait écho à un échange avec un praticien qui, ayant réalisé un dessin de tortue (Figure1), m’a expliqué le tracé de la « première partie » par une liste d’instructions : « tu traverses », « tu tournes » ou encore « tu reviens ». Cette forme narrative suggère que le praticien exécute la première partie de ce dessin comme une suite d’instructions conditionnées à la position du doigt dans le dessin et devant être exécutées jusqu’à revenir au point de départ. J’ai mis en évidence que cet algorithme était utilisé pour construire des dessins plus complexes sur des grilles de différentes tailles. L’algorithme de la tortue, lorsqu’il est produit sur une grille à $l$ lignes et $c$ colonnes, sera donc noté $T (l, c)$.

Explication de l’algorithme par analogie

Pour expliquer cet algorithme, j’utilise une analogie (suggérée, d’une certaine façon, par les commentaires évoqués précédemment). On peut imaginer que le tracé du doigt matérialise la trajectoire d’une boule se déplaçant en ligne droite à l’intérieur d’un billard rectangulaire fictif dont les bords sont matérialisés en rouge dans cette vidéo. Soyons clair : ce billard rouge ne fait pas partie du dessin et ne m’a pas été indiqué par les praticiens. Le point de départ et la direction de départ sont au choix du dessinateur, même si les praticiens démarrent généralement d’un point du bord supérieur.

La figure 12 montre quelques étapes de cet algorithme, exécuté sur une grille à $l = 5$ lignes et $c = 3$ colonnes, et démarrant du point supérieur central dans une direction à $−45°$. Le lecteur curieux pourra visionner une animation de l’algorithme. Les termes « Segment », « Virage » et « Grand virage « désignent certains types de tracés entre deux points de la grille, ils permettent de comprendre le principe suivant :

• La boule se déplace librement en ligne droite dans le billard ;
• la boule change de direction lorsqu’elle rencontre le bord du billard (elle fait un « virage ») en dehors des coins ;
• lors de ce changement de direction, l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion ;
• si la boule rencontre un coin sortant, elle rentre dans le billard par le coin symétrique par rapport à l’axe de symétrie vertical.

Comme l’illustre la figure 13 , on se rend en effet compte que, dans certains cas, l’algorithme ne semble pas compléter totalement la grille : certains nœuds ne sont soit pas traversés du tout (pour $(l, c) = (9, 3) $par exemple), ou alors que dans l’une des deux directions possibles (pour $(l, c) = (4, 6)$ par exemple). Les experts placés dans ces situations font remarquer que le dessin n’est pas « complet » (compleat en Bislama). Nous dirons donc que l’algorithme est « complet » si tous les nœuds de la grille sont traversés, et ce, dans les deux directions possibles. C’est par exemple le cas de la figure 13a.

Se pose alors à l’ethnomathématicien, deux questions auxquelles je vais tenter de répondre dans la suite de cet article :

1. À quelle(s) condition(s), l’algorithme $T(l,c )$ est-il complet ?

2. Quelle perception les praticiens ont-ils de cette propriété ?

La condition pour que $T (l, c)$ soit complet

La démonstration repose sur l’analogie de la boule de billard. Il est bien connu des mathématiciens que la trajectoire d’une boule lancée dans un billard rectangulaire (sans frottement et aux rebonds parfaits) est fermée si et seulement si la pente [6] avec laquelle on frappe la boule (par rapport à l’horizontale) est commensurable aux rapports de la largeur et de la longueur [7]. C’est ici le cas, car le billard (Figure 14a) est un rectangle aux côtés entiers (si l’unité de mesure est donnée naturellement par l’espace entre deux nœuds voisins de la grille) et la pente est soit $1$ (45°) soit $-1$ (-45°). Mais cette analogie s’arrête ici, car les coins de ce billard jouent des rôles particuliers (Figure 14b) et obligent à adapter la démonstration classiquement utilisée pour un billard rectangulaire.

La démonstration.

Si l’unité est donnée par la largeur du quadrillage de l’algorithme de la tortue, l’étude de l’algorithme de la tortue $T(l,c)$ se ramène à l’étude de la trajectoire d’une boule de billard dans un billard de taille $l \times c$, rebondissant selon des angles de $45 ^{\circ}$ avec l’horizontale (Figure 14a).

Nous devons cependant tenir compte du rôle particulier joué par les coins du billard. Appelons $C_T$ les deux coins du haut du billard et $C_B$ les deux du bas. Nous choisissons le même nom car ces coins peuvent être identifiés l’un à l’autre. En effet, lorsque la boule atteint l’un des coins du haut, elle ressort par le coin opposé (Figure 14b).

Le problème peut alors se reformuler de la façon suivante :
Si l’on décide de lancer la boule dans ce billard en partant (par exemple) du coin $C_B$ et à $45^{\circ}$, est-ce que la boule va revenir à son point de départ en ayant parcouru toutes les diagonales du billard ?

Au lieu d’étudier les rebonds de la boule, nous créons des symétriques du billard, de façon à ce que l’étude se ramène à celle d’une ligne droite de la façon suivante : à chaque fois que la boule atteint l’un des bords, on crée une copie du billard par symétrie axiale le long de ce bord (Figure 15).

Figure 15 : Symétries successives du billard, transformant la trajectoire en une ligne droite.

Lorsque la boule rebondit sur l’un des bords, elle continue sa course en ligne droite dans la copie ainsi créée. Le billard initial et ses trois copies (le long de chaque bord), forment un rectangle, par exemple celui dont les coins sont $(0;0),(2l;0),(2l;2c),(0;2c)$ [8].

Pour des raisons de symétrie, si la boule part de $C_B$ et atteint l’un des coins $C_T$ en un certain nombre de rebonds, elle en repartira de l’autre côté et atteindra l’autre point $C_B$ avec le même nombre de rebonds. Le problème consiste donc à savoir si la boule peut partir de $C_B$ et atteindre $C_T$ en faisant exactement la moitié des rebonds possibles.

Les coordonnées des coins sont de la forme $(kc;k' l)$ avec $(k,k')\in \mathbb{Z}^2$, et ce coin est $C_T$ si $k'$ est impair.

Notons $C_0=(k c;k' l)$ le premier coin atteint par la boule, $k$ et $k'$ sont donc minimaux pour cette propriété.

Sachant que la trajectoire est la droite d’équation $y=x$, on obtient :
\[\begin{align*} C_0 = C_T &\iff \quad kc=k' l , k' \text{ impair et } k , k' \text{ minimaux} \\ &\iff \quad \frac{c}{l}=\frac{k'}{k} , k' \text{ impair et } k , k' \text{ minimaux}\\ &\iff k=\frac{l}{\mathrm{pgcd}(l,c)} \text{, } k'=\frac{c}{\mathrm{pgcd}(l,c)} \text{, } k' \text{ impair} \\ \end{align*} \]
Le nombre de rebonds s’obtient en comptant le nombre de fois où on a copié le billard initial, donc le nombre de croisements de la droite $y=x$ avec une droite verticale ou horizontale du tore. Quand elle atteint $C_T$, la boule a croisé $k$ fois les droites verticales d’équation $x=1,x=c,x=2c...,x=kc$, et $k'$ fois les droites horizontales d’équation $y=1, y=l,y=2l...,y=k'l$. Le dernier croisement étant à la fois sur une droite horizontale et une verticale, on le compte deux fois et le nombre de rebonds est donc $k+k'-1$. En observant la figure 14a, on calcule aisément que la moitié du nombre de rebonds possibles dans le billard est $l+c-1$.

On obtient ainsi
\[\begin{align*} T(l,c) \text{ est complet } &\iff \begin{cases} \frac{c}{\mathrm{pgcd}(l,c)} \text{ est impair} \\ k+k'-1=l+c-1 \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} \frac{c}{\mathrm{pgcd}(l,c)} \text{ est impair} \\ \frac{l}{\mathrm{pgcd}(l,c)}+\frac{c}{\mathrm{pgcd}(l,c)}-1=l+c-1 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} c \text{ est impair} \\ \mathrm{pgcd}(l,c)=1 \text{ c'est à dire } l \text{ et } c \text{ premiers entre eux}\end{cases} \end{align*}\]

Attardons nous un instant sur ce résultat qui introduit un concept arithmétique (le pgcd) dans un contexte géométrique. Il n’est pas sans rappeler d’autres résultats similaires, comme celui par exemple du nombre de composantes d’un entrelac tracé sur un rectangle de dimensions entières.
Muni de ce résultat, j’ai cherché à comprendre quel type de savoir en avaient les praticiens. En effet, dans tous les dessins où l’algorithme de la tortue est mobilisé au cours du tracé, les conditions du théorème sont réalisées. Les praticiens sont-ils capables de savoir spontanément si un couple $(l, c)$ convient, ou bien connaissent-ils un certain nombre de valeurs pour lesquelles $T (l, c)$ est complet ? De plus, quels discours tiennent-ils lorsque on les place dans des conditions dans lesquelles $T (l, c)$ n’est pas complet ? Ces questions vont nous emmener à présent sur l’île d’Ambrym.

Le cas du dessin Poar : une narration de recherche en ethnomathématiques

Eric Vandendriessche, qui mène des recherches sur le nord de l’île d’Ambrym depuis plus de quinze ans, a attiré mon attention sur un dessin nommé Poar, ce terme vernaculaire désignant une espèce d’oiseau marin. Ce dessin, généralement réalisé sur une grille de dimension $(l, c) = (3, 5)$, représente cinq oiseaux posés dans une rigole pleine d’eau (Figure 16a) [9].

Eric avait remarqué qu’il existe au Nord-Ambrym plusieurs façons de faire ce dessin, et il me les a soumises. Après une analyse approfondie à l’aide des outils développés dans ma thèse, je me suis rendu compte que toutes ces méthodes possédaient un invariant. En effet, de façon assez inattendue, une des étapes de la construction peut toujours être interprétée comme la réalisation de l’algorithme de la tortue $T (2, 5) $sur les deux dernières lignes de la grille de ce dessin (Figure 17).

Figure 17 : Une des étapes du dessin Poar sur grille (3, 5) peut être identifiée comme la réalisation de $T (2, 5)$ sur la partie basse de la grille

Partant de ce constat, nous avons alors décidé de proposer aux praticiens maitrisant parfaitement ce dessin de réaliser le dessin Poar dans des configurations inhabituelles pour eux. Au cours d’un terrain ultérieur, Eric Vandendriessche leur a ainsi demandé de réaliser le dessin sur des grilles de taille $(3, c), c ≥ 3$. Le dessin nécessite alors de réaliser l’algorithme $T(2,c)$, pour lequel le théorème de la tortue indique qu’il faut choisir $c$ impair. Les résultats de cette expérimentation se sont révélés fructueux. Tout d’abord, les praticiens ont mentionné spontanément qu’il était nécessaire de choisir un nombre de colonnes impair : Yu no save makem hemia wetem $2,4,6... $ hemi no compleat...(« tu ne peux le faire avec 2,4,6...ce n’est pas complet »). Ensuite, ils se sont adaptés à la nouvelle taille de grille et ont réalisé spontanément le dessin dans les cas $c = 7, 9, 11...$ (Figure 16).

Ceci amène deux commentaires. D’une part c’est une indication forte que la procédure est bien perçue par les acteurs comme un algorithme dont les instances sont le nombre de lignes et de colonnes. D’autre part, même s’ils ne semblaient pas entrevoir de liens avec le dessin Tutel (Figure 1), ceci semble bien confirmer que l’algorithme de la tortue ait pu circuler d’une île à l’autre et constituer une base à la création de différents dessins.

Une partie des vidéos de cette expérimentation sont disponibles dans l’article en ligne « Les dessins sur le sable du nord de l’île d’Ambrym (Vanuatu) : une étude ethnomathématique » dans la partie Modification de la grille.

Conclusion

Dans cet article, j’ai tenté de donner un bref aperçu de la méthodologie déployée dans ma thèse pour étudier la pratique de dessin sur le sable. J’ai tout d’abord mis en évidence l’existence d’un algorithme de dessin $T (l, c)$utilisé dans plusieurs constructions de dessins. J’ai ensuite indiqué que les praticiens utilisaient un certain nombre de valeurs du couple $(l, c)$ pour lesquelles j’ai démontré que $T (l, c)$ était complet. Si la condition $pgcd(l, c) = 1$ ne semble pas énoncée par les praticiens, la condition c impair semble en revanche connue dans certain cas particuliers. Par exemple, bien qu’elle se soit pas énoncée en ces termes, certains experts ont été en mesure de suggérer que $T(2,c)$ n’était complet que si c était impair. Ces résultats sont un bref aperçu de ce qui m’a permis, dans ma thèse, d’interroger la nature mathématique du dessin sur le sable.

À ma connaissance, l’algorithme $T(l,c)$ n’est utilisé que dans le cadre de dessins relatifs au monde animal : tortues, oiseaux, vers, sauterelles ou encore papillons. Ceci permet d’ouvrir la voie à une question plus anthropologique : « En quelle(s) mesure(s) cet algorithme est-il révélateur des liens qu’entretiennent ces sociétés avec le monde animal ? ». Même si j’ai suggéré quelques éléments de réponses dans ma thèse, il faudrait mener des investigations plus poussées pour comprendre pourquoi c’est cet algorithme qui s’est imposé et pas un autre (Da Silva, 2022, p.334-337). Il faut par ailleurs noter qu’il existe d’autres types d’algorithmes utilisés par les praticiens, et notamment un algorithme qui donne une « existence » à chacun des nombres entiers naturels non nuls (Da Silva, 2022, p.184-187 et 378-393).

L’analyse déployée dans cet article permet par ailleurs de fournir de nouveaux outils pour l’ethnographie. L’identification des valeurs du couple $(l, c)$ qui rendent $T (l, c)$ complet permet en effet d’interagir avec les praticiens avec une meilleure connaissance de la pratique. Elle m’a conféré à certains moments un statut d’expert, les discussions avec les praticiens devenant alors des échanges entre spécialistes. D’une façon plus générale, tous les outils mathématiques et informatiques développés au cours de mon travail l’ont été pour mieux saisir le point de vue des praticiens et notamment d’interroger la façon dont les dessins sont crées, mémorisés et transmis.

Néanmoins, il faut rester prudent. On gardera à l’esprit qu’une modélisation est une traduction formelle d’un point de vue d’observateur mathématicien et, qu’à ce titre, elle empêche peut-être de percevoir certains phénomènes. Tout au long de mon travail, et notamment sur le terrain, j’ai toujours fait sonner ce constat comme un avertissement pour éviter tout phénomène, parfois sournois, de projection. Mon travail ne reste qu’un point d’entrée possible pour rendre cette pratique intelligible et pour suggérer que le dessin sur le sable relève d’une certaine « altérité mathématique » (Da Silva, 2022, p.426). D’autres travaux récents ont privilégié des approches différentes. On peut citer par exemple ceux de Jacopo Baron qui s’inscrivent dans le domaine de l’anthropologie de la mémoire (Baron, 2020).

Le travail sur les aspects ethnomathématiques du dessin sur le sable semble loin d’être terminé. J’ai par exemple récemment analysé de longues captations d’un festival de dessins sur le sable qui s’est tenu en 2008 sur l’île d’Ambrym. Quelle ne fut pas ma surprise d’identifier un dessin qui, après quelques simplifications de tracé, peut être identifié comme la réalisation de l’algorithme $T(19,7$) (figure 18) ! La grille étant imposante, deux praticiens se relaient pour tracer la ligne continue, ce qui implique que l’un et l’autre connaissent le même algorithme et que l’un suit l’évolution de l’autre lorsqu’il est inactif. Une nouvelle question surgit : comment ont-ils su que les valeurs numériques $l = 19$ et $c = 7$ convenaient ? N’ayant pu rencontrer ces praticiens, je n’ai pas de réponse à ce jour. Preuve qu’il reste encore beaucoup à faire sur le sujet !

(a) Deux praticiens exécutent un dessin dont $T (19, 7)$ constitue la base.

(b) $T (19, 7)$ ayant subi une rotation de 90° constitue la base d’un dessin à deux mains.

Réferences

↑ Allouche, G., Allouche, J.-P., & Shallit, J. (2006). Kolams indiens, dessins sur le sable aux ̂ıles Vanuatu, courbe de Sierpinski et morphismes de monöıde. Annales de l’institut Fourier, 56(7), 2115–2130.

↑ Ascher, M. (1988). Graphs in cultures : A study in ethnomathematics. Historia Mathematica, 15(3), 201– 227.

↑ Ascher, M. (1991). Ethnomathematics – a multicultural view of mathematics ideas. Brooks/Cole Publishing Compagny.

↑ Ascher, M., & Ascher, R. (1986). Ethnomathematics. History of Science, 24(2), 125–144.

↑ Baron, J. (2020). Gardens of the mind : A study on vanuatu sand-drawing [Doctoral dissertation, Paris, EHESS].

↑ Bell, F. (1935). Geometrical art. Man, 35, 16.

↑ Bishop, A. J. (1988). Mathematics education in its cultural context. In Mathematics education and culture (pp. 179–191). Springer.

↑ Bolton, L. (2003). Unfolding the moon : Enacting women’s kastom in Vanuatu. University of Hawaii Press.

↑ Chemillier, M., Jacquet, D., Randrianary, V., & Zabalia, M. (2007). Aspects mathématiques et cognitifs de la divination sikidy à Madagascar. L’homme, (1), 7–39.

↑Da Silva, A. (2022). An ethnomathematical study of sand drawing of vanuatu. from ethnography to mathematical modeling, a cross-sectional view of the practice of uli-uli among the raga of north pentecost. [Doctoral dissertation, Université Paris-Cité].

↑ D’ambrosio, U. (1985). Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of mathematics. For the learning of mathematics, 5, 44–48.

↑ Deacon, A. B. (1934). Geometrical drawings from Malekula and other islands of the New Hebrides. The Journal of the Royal Anthropological Institute of Great Britain and Ireland, 64, 129–175.

↑ Desrosiers, S. (2012). Le textile structurel. exemples andins dans la très longue durée. Techniques & Culture. Revue semestrielle d’anthropologie des techniques, (58), 82–103.

↑ Eglash, R. (2000). Anthropological perspectives on ethnomathematics. In Mathematics across cultures (pp. 13–22). Springer.

↑ Fontinha, M.  (1983). Desenhos na areia dos quiocos do nordeste de Angola. Instituto de investigação cientifica tropical.

↑ François, A., Franjieh, M., Lacrampe, S., & Schnell, S. (2015). The exceptional linguistic density of vanuatu.

↑ Geismar, H. (2006). Malakula : A photographic collection. Comparative Studies in Society and History, 48(03), 520–563.

↑ Gerdes, P. (1989). Reconstruction and extension of lost symmetries : Examples from the Tamil of South India. Computers & Mathematics with Applications, 17(4), 791–813.

↑ Gerdes, P. (1990). On mathematical elements in the Tchokwe ”Sona” tradition. For the Learning of Math- ematics, 10(1), 31–34.

↑ Gerdes, P. (1999). Geometry from africa : Mathematical and educational explorations. MAA.

↑ Gopalan, V., & Vanleeuwen, B. K. (2015). A topological approach to creating any Pulli Kolam, an artform from south India. FOR M A, 30(1), 35–41.

↑ Govindaraj, R., & Mahendran, A. (2018). Generating various kolam patterns using new kolam picture grammar. International Journal of Internet Technology and Secured Transactions, 8(2), 209–220.

↑ Ishimoto, Y. (2006). Solving infinite kolam in knot theory. Proceedings of the International Symposium on Katachi and Folk Arts, 135–136.

↑ Kubik, G. (1987). African space/time concepts and the ”Tusona” ideographs in Luchazi culture : With a
discussion of possible cross-parallels in music. A rican Music, 6(4), 53–89.

↑ Nagarajan, V. R. (1998). Hosting the divine : The kolam as ritual, art and ecology in tamil nadu, india. University of California, Berkeley.

↑ Poirier, S. (2013). Traces, bâtons à fouir et dessins sur le sable. chez les aborigènes du désert occidental australien. Techniques & Culture. Revue semestrielle d’anthropologie des techniques, 2(61), 144–165. S

↑ Steinmann, R. (1989). Kolam : Form, technique, and application of a changing ritual folk art of Tamil Nadu. Shastric traditions in Indian arts, 1, 475–491.

↑ Tiennot, L., et al. (2015). À la recherche de jeux de semailles de type solo à Madagascar. ethnographiques. org, (29-décembre 2014 Ethnologie et mathématiques).

↑ Tournès, D. (2022). Ethnomathématique dans les iles du sud-ouest de l’océan indien : Un outil pour contextualiser et favoriser les apprentissages mathématiques. Printemps de la recherche en éducation 2022.

↑Vandendriessche, E. (2014). Jeux de ficelle. comparaisons et questions de méthode. Techniques & Culture. Revue semestrielle d’anthropologie des techniques, Décembre(62), 92–127.

↑Vandendriessche, E. (2015). String figures as mathematics ? an anthropological approach to string figure-making in oral tradition societies. Springer.

↑Vandendriessche, E. (2016). Variabilité culturelle de la numératie. quelques points d’entrée dans la littérature ethnomathématique. Statistique et Société, 4(1), 51–55.

↑Vandendriessche, E., & Da Silva, A. (2022). Les dessins sur le sable du nord de l’̂ıle d’Ambrym (Vanuatu) : Une étude ethnomathématique. Ethnographiques.org, (43).

↑Vandendriessche, E., & Petit, C. (2017). Des prémices d’une anthropologie des pratiques mathématiques à la constitution d’un nouveau champ disciplinaire : L’ethnomathématique. Revue d’histoire des sciences humaines, (31), 189–219.

↑Waring, T. M. (2012). Sequential encoding of Tamil kolam patterns. Forma, 27, 83–92.