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La quartique de Klein, par Jos Leys.

La quartique de Klein, par Jos Leys.

Pendant longtemps, la géométrie algébrique s’est préoccupée des "courbes algébriques". Il s’agit de courbes dans le plan qui sont définies par une équation, comme par exemple celle-ci :

x3y+y3+x=0 (pourquoi pas ?). L’idée géniale de Riemann a été d’interpréter chacune des coordonnées x ;y comme un nombre complexe, chacune ayant une partie réelle et imaginaire. La courbe "complexe" est alors une surface dans un espace de dimension 4 ! Penser à une courbe comme une surface de Riemann a été une idée extrêmement féconde. Par exemple, Klein, en étudiant la courbe x3y+y3+x=0 , a montré que la surface qui lui est associée a exactement 168 symétries ! Un peu comme on peut envisager un tore à partir d’un plan quadrillé par un échiquier de cases de deux couleurs, Klein montre comment on peut comprendre "sa courbe" en utilisant un échiquier toujours bicolore mais plus compliqué. Pour bien décrire ce pavage, il faudrait faire appel à la géométrie non euclidienne : une autre grande découverte du dix-neuvième siècle.


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