Dès que l’on pense à chacune des deux coordonnées d’un plan comme un nombre complexe, chacun possédant une partie réelle et une partie imaginaire, le plan complexe devient de dimension 4 ! Le cercle unité auquel nous sommes habitués devient alors une sphère dans un espace de dimension 4, autrement dit une sphère de dimension 3. Ce mode de pensée, bizarre au premier abord, permet de comprendre en profondeur un grand nombre de questions de géométries algébriques, comme par exemple la nature d’une courbe algébrique, autour d’un de ces points. Par exemple, si vous observez la courbe d’équation x3=y2 , si vous pensez à x et y comme des nombres complexes, et si vous l’observez sur la sphère unité, de dimension 3, vous voyez ... un nœud de trèfle ! La topologie au secours de l’étude des courbes. L’image suivante représente une vue de la sphère de dimension 3 (par projection stéréographique...) dans laquelle on a représenté des nœuds de trèfle qui forment ce qu’on appelle une "fibration de Seifert". Leurs équations ne sont pas difficiles : x3=ay2 où on fait varier le nombre (complexe) a comme on le souhaite. Ces nœuds fibrent la sphère, un peu comme les fibres d’un tissu. Rien de tel n’existe sur la sphère de dimension 2.