Le cercle de rayon 1 dans le plan est le cercle trigonométrique ; celui où on repère sa position par un angle. Une propriété très importante est qu’on peut ajouter deux angles pour en obtenir un troisième. On dit que le cercle unité est un groupe. Cela est clair si on y pense comme l’ensemble de nombres complexes de module 1 qu’on peut multiplier entre eux. La même chose n’est pas vraie pour la sphère unité dans l’espace : on ne peut pas les multiplier ! Un miracle se produit lorsqu’on passe à la dimension supérieure. Il se trouve qu’on peut multiplier des points de l’espace de dimension 4, qu’on appelle alors des quaternions ! C’est Hamilton qui a découvert cela en 1843, même s’il a dû abandonner une propriété qui nous est familière : le produit de deux quaternions dépend de l’ordre dans lequel on fait la multiplication. L’ensemble des quaternions de "module" 1 est alors un groupe, et c’est la sphère unité dans l’espace de dimension 4... Ainsi, deux points de la sphère de dimension 3 peuvent se multiplier entre eux pour en produire un troisième. On sait aujourd’hui que ce "miracle" se reproduit en dimension 7 (même s’il faut cette fois abandonner d’autres propriétés de la multiplication) et qu’il ne se reproduit plus par la suite... Les sphères de dimension 1, 3 et 7 sont plus belles que les autres. Les quaternions contiennent les nombres complexes qui contiennent eux-mêmes les nombres réels... Tout cela engendre de bien belles figures... Par exemple, la sphère de dimension 3 contient 120 points qui forment un sous-groupe : quand on multiplie deux d’entre eux, on obtient un troisième. Ces points constituent les sommets d’un magnifique exemple de polyèdre régulier dans la quatrième dimension, découvert par Schläfli en 1850, et représenté ici (après projection stéréographique de la sphère de dimension 3).