XI Escuela de Verano en Matemáticas

Matroides: una generalización del concepto de "independencia".

Para generalizar la noción de independencia lineal, Whitney y Nakasawa, independientemente, definieron la noción de Matroide.

La Teoría de Matroides ha tomado mucha importancia en estos últimos años, pues se pueden estudiar estructuras geométricas (como los planos proyectivos finitos, entre otros), gráficas, etc. por medio de métodos combinatorios y algebraicos (por ejemplo, del álgebra lineal, de teoría de anillos y módulos, entre otros).

En esta plática daremos la definición de Matroide, algunas propiedades importantes y ejemplos. Después nos enfocaremos en los matroides llamados "paving" y "sparse-paving", su importancia y resultados actuales de investigadores mexicanos.

¿Salvaje o manso?

El nacimiento de la topología salvaje fue en la década de 1920 con trabajos de Alexander, Antoine, Artin, Fox, entre otros. En aquel tiempo, uno de los problemas principales era la generalización del teorema de Schoenflies: Sea $S$ una superficie cerrada simple en $\mathbb{R}^{3}$ que es homeomorfa a la esfera unitaria $\mathbb{S}^{2}$. Sea $h$ un homeomorfismo de $S$ sobre $\mathbb{S}^{2}$ en $\mathbb{R}^{3}$. ¿Existe una extensión $\tilde{h}$ de $h$ tal que $\tilde{h}$ es un homeomorfismo de $\mathbb{R}^{3}$ sobre sí mismo? Alexander probó este resultado en el caso especial de que $S$ sea un politopo finito. Posteriormente, él dió su famoso ejemplo la esfera cornuda de Alexander, $\cal S$, tal que la componente no acotada de $\mathbb{R}^3\setminus{\cal{S}}$ no es simplemente conexa. Esto implica que no existe un homeomorfismo de $\mathbb{R}^{3}$ sobre sí mismo que envía a $\cal S$ sobre $\mathbb{S}^{2}$.

En 1948, Artin y Fox dieron la definición de encajes mansos y encajes salvajes. A partir de entonces, ha habido muchas contribuciones a este campo dadas por Antoine, Bing, Harold, Moise, Mazur, Brown, Montesinos, entre otros; con el fin de entender conjuntos salvajes.

El objetivo de esta plática, es dar un recorrido por el mundo salvaje, explicando varios ejemplos y describiendo algunas de sus propiedades.

Probabilidad y geometría elemental

Bastan unos experimentos sencillos (bien conocidos por los que si saben) para darse cuenta de que la probabilidad elemental tiene mas chiste del que creemos (los que no sabemos). Haremos juntos alguno de estos experimentos y tratare de contarles de otros relacionados con la geometría.

Análisis armónico sobre espacios homogéneos

En geometría diferencial los espacios homogéneos toman un papel muy importante, por que son esencialmente las únicas variedades, en que se puede calcular y estudiar propiedades geométricas en detalle. De hecho hay un "diccionario", que reduce muchas calculaciones analíticas por espacios homogéneos a problemas de álgebra lineal. En mi plática discutiré solamente un aspecto particular de este diccionario llamado el análisis armónico asociado a un espacio homogéneo, que generaliza la transformada de Fourier y que nos permite calcular soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales parciales con simetrías.

La Teoría de Modelos Como Microscopio: Foliaciones, Números Transcendentes y El Invariante Modular Cuántico

La teoría de modelos estudia (entre otras cosas) modelos no estandares: generalizaciones exociticas de estructuras clasicas que son indistinguibles desde el punto de vista de la lógica de primer orden. En esta charla vamos a mostrar como modelos no estándares pueden ser utilizados para detectar invariantes de objetos geométricos y de la teoría de números que son de una forma "invisibles" en los modelos estandares. En particular, mostraremos como

1. Dar sentido a1 grupo fundamental de foliaciones usando modelos no estandares de grupos.

2. Definir una teoria de "ideales" para números transcendentes usando modelos no estandares de anillos de enteros.

Las construcciones en 1. y 2. coinciden y como una aplicación las usaremos para definir el invariante modular cuántico.

Teoría de control en ecuaciones diferenciales

En esta plática presentamos la noción de controlabilidad y observabilidad de un sistema diferencial lineal de dimensión finita. Mostramos que en este caso ambas nociones coinciden y son equivalentes a una condición algebraica llamada condición de Kalman, para ello utilizamos herramientas del Cálculo de Variaciones.