Cursos

La dinámica del circulo.

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Descomposiciones de Heegard para la 3-esfera y nudos en posición de puentes.

TBA

Álgebras Geométricas: Geometría y Análisis.

En este cursillo presentaremos una invitación a estudiar las Álgebras Geométricas.

Empezaremos repasando y comparando el cálculo vectorial en $R^3$ y la variable compleja desde el punto de vista algebraico y analítico. Esto motivará la construcción de las álgebras geométricas del espacio Euclidiano y el estudio de ciertos operadores diferenciales. Los complejos y los cuaternios son los primeros ejemplos de álgebras geométricas; el operador de Cauchy y el operador de Dirac serían los correspondientes operadores diferenciales. A continuación presentaremos algunas propiedades de ciertas funciones con valores en el álgebra geométrica. Por ejemplo, representaciones Integrales.

Sabores de la Teoría de Números.

En este mini curso se dará una introducción a la teoría de números por cuatro sabores: álgebra, análisis, geometría y física cuántica.

1. Álgebra. Se presentará una introducción breve al estudio de números algebraicos y la teoría de campos de clase: una generalización amplia de la ley de reciprocidad de Gauss. Terminaremos con 1) el Teorema de Kronecker-Weber y 2) el 12 problema de Hilbert, que conciernen la elaboración de una versión explícita de la teoría de campos de clase.

2. Análisis. En la primera mitad hablaremos un poco sobre la teoría de aproximación diofántica. En la segunda introduciremos las funciones L y las conjeturas de Langlands, que representan un programa para encontrar una versión no abeliana de la teoría de campos de clase.

3. Geometría. Daremos una introducción breve a curvas elípticas (toros), funciones elípticas y el invariante modular. Luego presentaremos el Teorema de Fueter-Weber: que da una solución del 12 problema de Hilbert en el caso de campos cuadráticos complejos.

4. Física Cuántica. Introduciremos el concepto de un toro cuántico y su invariante modular cuántico. Discutiremos una versión conjetural del Teorema de Fueter-Weber usando la teoría cuántica, que daría una solución del 12 problema de Hilbert en el caso de campos cuadráticos reales. Terminaremos por la verificación de la última conjetura en el caso de campos de funciones.